$1+2+3=\int_{0}^{\infty}t^3e^{-t} dt$ ?

Question

Estoy leyendo el de Ivanov: Fácil como Pi . En la portada del libro hay una fórmula:

$$1+2+3=\int_{0}^{\infty}t^3e^{-t} dt$$

No me queda claro si la fórmula tiene alguna relevancia o si es una broma. He hojeado el libro pero no he encontrado nada relacionado con eso de forma directa.

Answer 1

Puede que sólo se integre por partes de forma repetida.

Aquí están los detalles.

$$ \begin{align} \int_0^{\infty}t^3e^{-t}dt&=\left. t^3\left(-e^{-t}\right)\right|_0^{\infty} +3\int_0^{\infty}t^2e^{-t}dt\\\\ &=0+3\times\int_0^{\infty}t^2e^{-t}dt\\\\ &=3\times\left(\left. t^2\left(-e^{-t}\right)\right|_0^{\infty} +2\int_0^{\infty}te^{-t}dt\right)\\\\ &=3\times\left(0+2\int_0^{\infty}te^{-t}dt\right)\\\\ &=3\times2 \times\int_0^{\infty}te^{-t}dt\\\\ &=3\times2\times\left(\left. t\left(-e^{-t}\right)\right|_0^{\infty} +\int_0^{\infty}e^{-t}dt\right)\\\\ &=3\times2\times\left(0 -(-1)\right)\\\\ &=3\times2\times1\\\\ &=\color{blue}{6}\\\\ &=\color{red}{1+2+3}. \end{align} $$

Answer 2

El lado derecho es la función Gamma. Equivale a $3!=6=1+2+3$

Véase Función Gamma: https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

Answer 3

Se puede derivar integrando por partes. Si $u=t^3, dv=e^{-t}dt, \int_{0}^{\infty}t^3e^{-t} dt=-t^3e^{-t}|_0^\infty+\int_0^\infty3t^2e^{-t}dt\to\int_0^\infty6e^{-t}dt=6=1+2+3$ . No sé cómo hacer el $1+2+3$ aparecen como pasos en la derivación.

Answer 4

Aviso, $$RHS=\int_{0}^{\infty}t^3e^{-t}dt=L[t^3]_{s=1}=\left[\frac{\Gamma(3+1)}{s^{3+1}}\right]_{s=1}=\left[\frac{\Gamma(4)}{1^{4}}\right]=\Gamma(4)=3!=3\times2\times 1=6$$ Por lo tanto, $$1+2+3=\int_{0}^{\infty}t^3e^{-t}dt$$$$ \¡1+2+3=3! $$$$\iff 6=6$$

Answer 5

Por definición $$I_n=\int t^n e^{-t}\,dt=-\Gamma (n+1,t)$$ donde aparece la función gamma incompleta. $$J_n=\int_0^\infty t^n e^{-t}\,dt=\Gamma (n+1)$$ siempre que $n>-1$ . Si $n$ es un número entero, entonces $$J_n=n!$$ El caso de $n=3$ es entonces muy particular.