En el paralelogramo $ABCD$ hay un punto $P$ en su interior

Question

Hay un paralelogramo $ABCD$ y un punto $P$ en su interior, donde $\lvert CP\rvert=\lvert CB\rvert$ . ¿Hay alguna manera de demostrar que una línea que une el punto medio de $AP$ y el punto medio de $DC$ es perpendicular a una línea que une los puntos $B$ y $P$ ?

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Gracias
Greg

Answer 1

Esta respuesta utiliza vectores.

Dejemos que $\vec{CB}=\vec b,\vec{CD}=\vec d$ .

Entonces, podemos escribir $\vec{CP}=m\vec b+n\vec d$ donde $m,n\in\mathbb R$ y tienen $$|\vec{CB}|^2=|\vec{CP}|^2\iff |\vec b|^2=m^2|\vec b|^2+n^2|\vec d|^2+2mn\vec b\cdot\vec d\tag1$$

Ahora tenemos $\vec{FG}=\vec{CG}-\vec{CF}=\frac 12(\vec{CP}+\vec{CA})-\frac 12\vec d=\frac 12(m\vec b+n\vec d+\vec b+\vec d)-\frac 12\vec d=\frac 12(m\vec b+n\vec d+\vec b)$

y

$\vec{BP}=\vec{CP}-\vec{CB}=m\vec b+n\vec d-\vec b$

Así que, $$\begin{align}\vec{FG}\cdot\vec{BP}&=\frac 12(m\vec b+n\vec d+\vec b)\cdot (m\vec b+n\vec d-\vec b)\\\\&=\frac 12(m|\vec b|^2+n^2|\vec d|^2+2mn\vec b\cdot\vec d-|\vec b|^2)\end{align}$$

Vemos que esto equivale a $0$ de $(1)$ .

Answer 2

Sea X el punto medio de BP. Entonces, $\angle CXP = 90^0$ porque $\triangle CBX \cong \triangle CPX$ .

Por el teorema del punto medio, GX es igual y paralelo a (la mitad de AB).

Pero (medio AB) es igual y paralelo a (medio DC) = FC. Esto significa que FGXC es un paralelogramo.

Entonces, $\angle GYX = \angle CXP = 90^0$

Answer 3

Dejemos que $A=(0,0),B=(a,0),C=(b,c),D=(b-a,c)$ las coordenadas del paralelogramo.

Círculo $\Gamma$ centrado en $(b,c)$ y el radio $\sqrt{c^2+(b-a)^2}$ tiene la ecuación $$x^2-2bxy^2-2cy=a^2-2ab$$ Dejemos que $P=(x,y)\in\Gamma$

Línea $FG$ y la línea $BP$ tienen pentes $\dfrac{y-2c}{x-2b+a}$ y $\dfrac{-x+a}{y}$

Es $\dfrac{y-2c}{x-2b+a}$ igual a $-\dfrac{y}{x-a}$ ? (en otras palabras, ¿es $mm'+1=0$ ?) Una simple comprobación muestra que la respuesta es SÍ porque $$\dfrac{y-2c}{x-2b+a}=-\dfrac{y}{x-a}\iff x^2-2bxy^2-2cy=a^2-2ab$$