Dejemos que $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ sea una función completa.
Dejemos que $n\in\mathbb{N}$ y supongamos que
$$\forall w\in\mathbb{C}:\#\{z\in\mathbb{C}:f(z)=w\}\leq n$$
En palabras, todo valor complejo se alcanza mediante $f$ en un máximo de $n$ diferentes lugares.
Prueba que $f$ es un polinomio de grado máximo $n$ .
Esto se desprende de El gran teorema de Picard .
Ho, ahora lo veo. Tiendo a olvidar este sorprendente teorema, puede ser porque me cuesta entenderlo. [+1]
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Ver math.stackexchange.com/questions/287683 para un enfoque que evite el gran teorema de Picard.
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@mrf Tu prueba en ese enlace es muy bonita. Don Fanucci, toma nota.