Utilizando la prueba de la serie de Dirichlet probó que converge la serie $\displaystyle\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{\sin n x}{n\log n}$ % todos $x\in\mathbb{R}$.
¿Cómo determinar si esta serie converge uniformemente en $\mathbb{R}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $\left\{a_n\right\}$ ser una disminución de la secuencia de los números reales tales que a $n\cdot a_n\to 0$. A continuación, la serie de $\sum_{n\geqslant 2}a_n\sin (nx)$ es uniformemente convergente en $\mathbb R$.
Gracias a Abel transformar, podemos demostrar que la convergencia es uniforme en $[\delta,2\pi-\delta]$ todos los $\delta>0$. Dado que las funciones son impares, sólo tenemos que demostrar la convergencia uniforme en $[0,\delta]$. Poner $M_n:=\sup_{k\geqslant n}ka_k$, y $R_n(x)=\sum_{k=n}^{\infty}a_k\sin (kx)$. Fix $x\neq 0$ $N$ tal que $\frac 1N\leqslant x<\frac 1{N-1}$. Poner por $N>n$: $$A_n(x)=\sum_{k=n}^{N-1}a_k\sin kx\mbox{ and }B_n(x):=\sum_{k=N}^{+\infty}a_k\sin (kx),$$ y para $n\leqslant N$, $A_n(x)=0$ y de la misma definición para $B_n$.
Desde $|\sin t|\leqslant t$ $t\geq 0$ hemos $$|A_n(x)|\leqslant \sum_{k=n}^{N-1}a_kkx\leqslant M_nx(N-n)\leqslant \frac{N-n}{N-1}M_n,$$ por lo $|A_n(x)|\leqslant M_n$.
Si $N> n$, después de escribir $D_k=\sum_{j=0}^k\sin jx$, $|D_k(x)|\leqslant \frac cx$ en $(0,\delta]$ para algunas constantes $c$. De hecho, hemos $|D_k(x)|\leqslant \frac 1{\sqrt{2(1-\cos x)}}$ $\cos x=1-\frac{x^2}2(1+\xi)$ donde $|\xi|\leqslant \frac 12$ $2(1-\cos x)\geqslant \frac{x^2}2$ $|D_k(x)\leqslant \frac{\sqrt 2}x$ . Por lo tanto $$|B_n(x)|\leqslant \frac{\sqrt 2}x\sum_{k=N}^{+\infty}(a_k-a_{k+1})+a_N\frac{\sqrt 2}x=\frac{2\sqrt 2}xa_N\leqslant 2\sqrt 2 Na_n\leqslant 2\sqrt 2M_n.$$ Tenemos el mismo límite si $N\leqslant n$. Finalmente, $|R_n(x)|\leqslant (2\sqrt 2+1)M_n$ todos los $0\leqslant x\leqslant \delta$, por lo que la convergencia es uniforme en $\mathbb R$.
Añadió esto último: es un ejemplo de una serie de Fourier que es uniformemente convergente en la recta real, pero no absolutamente convergente en cualquier punto de $(0,2\pi)$. De hecho, tome $x\in (0,2\pi)$. Desde $|\sin(nx)|\geqslant \sin^2(nx)$, tendríamos la convergencia de $\sum_{n\geqslant 2}\frac{\sin^2(nx)}{n\log n}$. Tenemos $\sin ^2(nx)= \frac 1{-4}(e^{inx}-e^{-inx})^2=-\frac 14 (e^{2inx}+e^{-2inx}-2)=\frac 12-\frac 12\cos (2nx)$ y un Abel transformar muestra que la serie $\sum_{n\geqslant 2}\frac{\cos(2nx)}{n\log n}$ es convergente. Así que la serie $\sum_{n\geqslant 2}\frac 1{n\log n}$ sería convergente, que no es el caso como la integral de la prueba de muestra.
