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Question

Buscar: $$\lim_{n\to \infty}\left(\sin\frac{\pi}{2n}.\sin\frac{2\pi}{2n}.\sin\frac{3\pi}{2n}.....\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^{1/n}$ $

Me preguntaba, hay una fórmula para la multiplicación de los senos, cuando los ángulos están en progresión aritmética (además, existe una fórmula para suma de senos). También probé esta pregunta tomando log de ambos lados y aplicando la regla de L Hospital. Pero está llegando a ser desordenado. ¿Alguien por favor me puede ayudar en la solución de esta pregunta?

Answer 1

Tenemos $$\lim{n\to\infty}\ln \left(\sin\frac{\pi}{2n}.\sin\frac{2\pi}{2n}.\sin\frac{3\pi}{2n}.....\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^{1/n} =\lim{n\to\infty}\sum{k=1}^{n-1} \frac{1}{n}\ln \sin\left(\frac{k}{n}\cdot \frac{\pi}{2} \right) =\hspace{1cm}\int{0}^{1} \ln \sin\frac{\pi t}{2} dt $ $ ahí $$\lim_{n\to\infty} \left(\sin\frac{\pi}{2n}.\sin\frac{2\pi}{2n}.\sin\frac{3\pi}{2n}.....\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^{1/n} =e^{\int_0^1\ln \sin\frac{\pi t}{2} dt} $ $ pero se puede calcular que $$\int0^1\ln \sin\frac{\pi t}{2} dt =-\ln2$$ therefore $% $ $\lim{n\to\infty} \left(\sin\frac{\pi}{2n}.\sin\frac{2\pi}{2n}.\sin\frac{3\pi}{2n}.....\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^{1/n} =e^{-\ln 2 }=\frac{1}{2} $

Answer 2

En primer lugar tenemos\begin{align} \lim{n\to \infty}\frac1{n}\ln{\left(\sin\frac{\pi}{2n}.\sin\frac{2\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)} &=\lim{n\to \infty}\frac1{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ln{\left(\sin\frac{k\pi}{2n}\right)} \ &=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{x}}\:dx \ &=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\ln{\cos{x}}\:dx\tag{%#%#%} \end {Alinee el} que $y=\pi/2-x$. \begin{align} 2I&=\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{x}}\:dx+\int_0^{\pi/2}\ln{\cos{x}}\:dx \ &=\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{x}\cos{x}}\:dx \ &=\int_0^{\pi/2}(\ln{\sin{2x}}-\ln{2})\:dx \ &=\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{2x}}\:dx-\frac{\pi\ln{2}}{2} \ &=\frac1{2}\int_0^{\pi}\ln{\sin{x}}\:dx-\frac{\pi\ln{2}}{2} \ &=\frac1{2}\left(\int0^{\pi/2}\ln{\sin{x}}\:dx+\int{\pi/2}^{\pi}\ln{\sin{x}}\:dx\right)-\frac{\pi\ln{2}}{2} \ &=\frac1{2}\left(\int0^{\pi/2}\ln{\sin{x}}\:dx+\int{0}^{\pi/2}\ln{\cos{x}}\:dx\right)-\frac{\pi\ln{2}}{2} \ \end {Alinee el} así $I=\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{x}}\:dx$. Y

\begin{align} \lim{n\to \infty}\left(\sin\frac{\pi}{2n}.\sin\frac{2\pi}{2n}\cdots\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)^{1/n}&=\lim{n\to \infty}e^{\frac1{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ln{\left(\sin\frac{k\pi}{2n}\right)}} \ &=e^{\frac{2}{\pi}I}=e^{-\ln{2}} \ &=\frac1{2} \end {Alinee el}

Answer 3

$\bf{My\; Solution::}$ $\bf{n^{th}}$ Raíz de la Unidad, $\displaystyle$ Así que Vamos a $x= (1)^{\frac{1}{n}}\Rightarrow x^n - 1=0$

Por lo $$x^n-1 = (x-1)\cdot (x-\alpha)\cdot (x-\alpha^2)\cdot.........(x-\alpha^{n-1})\;,$$

Donde $$\displaystyle \alpha^r = \cos\left(\frac{2r\pi}{n}\right)+i\sin \left(\frac{2r\pi}{n}\right)\;,$$ and $r=0,1,2,3,.....(n-1)$

Por lo $$\displaystyle \frac{x^n-1}{x-1} = (x-\alpha)\cdot (x-\alpha^2)\cdot.........(x-\alpha^{n-1})$$

Ahora, Utilizando La fórmula

$$\bullet\; x^n-1 = (x-1)\cdot \left(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+........+x^2+x+1\right)$$

Por lo $$\displaystyle \left(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+........+x^2+x+1\right) = (x-\alpha)\cdot (x-\alpha^2)\cdot.........(x-\alpha^{n-1})$$

Ahora Pon $x=1$ en la ecuación anterior y tomando Módulo en ambos lados, obtenemos

$$\displaystyle 1 = \left|(1-\alpha)\cdot (1-\alpha^2)\cdot.........(1-\alpha^{n-1})\right| = \left|(1-\alpha)\right|\cdot \left|(1-\alpha^2)\right|\cdot .........\left|(1-\alpha^{n-1})\right|$$

Así, obtenemos

$$\displaystyle n= \left|1-\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)-i\sin \left(\frac{2\pi}{n}\right)\right|\cdot \left|1-\cos\left(\frac{4\pi}{n}\right)-i\sin \left(\frac{4\pi}{n}\right)\right|.........\left|1-\cos\left(\frac{2(n-1)\pi}{n}\right)-i\sin \left(\frac{2(n-1)\pi}{n}\right)\right|$$

Por lo $$\displaystyle n = 2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cdot 2\sin\left(\frac{2\pi}{n} \right)....2\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)$$

Por lo $$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n} \right)....\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}$$

Ahora Reemplace $n\rightarrow 2n\;,$ Tenemos

$$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{2n} \right)....\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{2n}\right) = \frac{2n}{2^{2n-1}}$$

Por lo $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left[\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{2n} \right)....\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)\right]^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{2n}{2^{2n-1}}\right)^{\frac{1}{n}}$$

$$\displaystyle = \frac{\lim_{n\rightarrow \infty}(2n)^{\frac{1}{n}}}{\lim_{n\rightarrow \infty}(2)^{2-\frac{1}{n}}} = \frac{1}{2^2}$$

Para el Cálculo de $$\lim_{n\rightarrow \infty}(2n)^{\frac{1}{n}}$$

Deje $$\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}(2n)^{\frac{1}{n}}\Rightarrow \ln(L)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln(2n)}{n}$$

Ahora, Utilizando $$\bf{L,Hopital\; Rule}\;,$$ we get $$\ln(L)=0\Rightarrow L=e^{0}=1$$

Yo no Entiendo de Donde me han Hecho Mal, Plz que alguien me explique, Gracias