Cruz producto-cuadrado

Question

Recientemente vi la siguiente expresión en alguna parte-

ps

¿Como funciona esto? ¿No debería LHS evaluar a$$\frac{1}{2} \left\| \frac{\vec{u}}{9} \times \frac{\vec{u} + \vec{v}}{9} \right\| + \frac{1}{2} \left\| \frac{\vec{u} + \vec{v}}{9}\times \frac{\vec{v}}{9} \right\| = \frac{1}{81} \left\|\vec{u}\times \vec{v}\right\|$?

Answer 1

La respuesta que viste fue correcta.

En primer lugar, el producto cruzado es asociativo, es decir,$(\vec{u}+\vec{v})\times\vec{w} = (\vec{u}\times\vec{w})+(\vec{v}\times\vec{w})$. Lo mismo es cierto en el lado izquierdo también. Además, el producto cruzado es lineal, es decir,$(\lambda \vec{u}) \times (\mu \vec{v}) = \lambda\mu (\vec{u} \times \vec{v})$. Finalmente, recuerde que para cualquier vector$\vec{u}$ tenemos$\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$.

Podemos aplicar estas reglas para simplificar el problema:

ps

ps

Al unir esto, obtenemos:

ps

Answer 2

Tenga en cuenta que$u \times (u + v) = (u\times u) + (u \times v) = 0 + (u \times v) = u\times v$, ya que el producto cruzado es distributivo sobre la suma, y ​​el producto cruzado de un vector en sí mismo es el vector totalmente cero ($0$ es el vector totalmente cero). Del mismo modo, obtenemos$(u+v) \times v = u \times v$ (esta vez usando "distributiveness from right.") Por lo tanto,

$$\begin{align} \frac{1}{2} \left\| \frac{\vec{u}}{9} \times \frac{\vec{u} + \vec{v}}{9} \right\| + \frac{1}{2} \left\| \frac{\vec{u} + \vec{v}}{9}\times \frac{\vec{v}}{9} \right\| & = \frac{1}{2 \times 9 \times 9} \|u \times (u+v)\| + \frac{1}{2 \times 9 \times 9} \|(u+v) \times v\| \\ & = \frac{\|u\times v\|}{81} \end{align}$$

Answer 3

No ha entendido el producto cruzado$\times$. Esta no es una multiplicación normal, y una de las propiedades que obedece es$$\vec{u}\times\vec{u} = 0

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product para una introducción.

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Editar : También tenga en cuenta que tomar la norma de un vector, denotado por$\lVert\vec{u}\rVert$, no es lineal, por lo que$$\lVert\vec{u}\rVert + \lVert\vec{v}\rVert \neq \lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert