Fijar un conjunto $\Omega$. Un $\sigma$-álgebra en $\Omega$ no es una colección vacía de subconjuntos de a $\Omega$ cerrado bajo de tomar complementos y contables de los sindicatos.
Me gustaría demostrar que (1) para un finito $\Omega$, $2^\Omega$ es una $\sigma$-álgebra y que (2) la intersección de una familia de $\sigma$-álgebras es una $\sigma$-álgebra. Son estas pruebas correcta?
La def. dice "no vacía de la colección" así que la colección contiene algo y el complemento de que algo de ahí las cosas toda $\Omega$. Ya que contiene la totalidad de las cosas, contiene su complemento, por lo tanto el conjunto vacío $\emptyset$. Esto garantiza que el $2^\Omega$ $\bigcap \mathcal{A_i}$ $\sigma$- álgebras $\mathcal{A_i}$ son no vacíos.
(Sentencia 1) Pf. $2^\Omega$ contiene todos los subconjuntos de a $\Omega$. Así que es cerrado bajo de tomar complementos y contables de los sindicatos.
(Sentencia De 2) Pf. Deje $\{\mathcal{A_i}\}$ ser una familia de $\sigma$-álgebras.
- $A\in \bigcap \mathcal{A_i}\implies A\in \mathcal{A_i} \forall i\implies A^c \in\mathcal{A_i}\forall i\implies A^c\in \bigcap \mathcal{A_i}$
- Deje $A_j\in \bigcap \mathcal{A_i}$$j\in J$. A continuación,$A_j\in \mathcal{A_i} \forall i \forall j$. Por lo tanto,$\bigcup A_j\in \mathcal{A_i} \forall i$. Por lo tanto $\bigcup A_j\in\bigcap\mathcal{A_i}$
