Su respuesta a (A) es la correcta.
Una relación en $A$ es un subconjunto de $A\times A$. $|A|=14$, por lo $|A\times A|=14^2=196$. Por último, un conjunto $S$ $n$ elementos de ha $2^n$ subconjuntos. Para construir un subconjunto de a $S$, debe decidir para cada una de las $n$ elementos $s$ $S$ si $s$ es en el subconjunto o no; lo que suma un total de $n$ dos vías de opciones, por lo que puede ser hecho en total $2^n$ diferentes maneras. En particular, $A\times A$, siendo un conjunto de $196$ elementos, ha $2^{196}$ subconjuntos.
Su respuesta a (B) también es correcta. Una vez que usted decida que los tres pares ordenados $\langle m,n\rangle,\langle 3,4\rangle$, e $\langle a,c\rangle$$T$, usted todavía tiene $14^2-3=193$ pares ordenados que usted puede elegir para poner en $T$ o dejar fuera. En otras palabras, para formar $T$ usted debe elegir un subconjunto de la $193$ restante de los pares ordenados, y hay $2^{193}$ dichos subconjuntos.
(C) Y, de nuevo, su respuesta es correcta.
Si $R$ es una relación simétrica en $A$, entonces sabemos que para cualquier $x,y\in A$, $\langle x,y\rangle$ $\langle y,x\rangle$ están en $R$, o ninguno de los dos es $R$. Hay $\binom{14}2$ (desordenada) pares de elementos distintos de a $A$. Si $\{x,y\}$ es uno de estos pares, se puede poner tanto en $\langle x,y\rangle$ $\langle y,x\rangle$ a $R$ o dejar fuera; esa es una decisión de la pareja. Por lo tanto, no se $2^{\binom{14}2}$ posibles conjuntos de pares que podemos utilizar. Estos nos dan la totalmente irreflexiva relaciones simétricas en $A$, de las que contienen ninguno de los pares ordenados de la forma $\langle x,x\rangle$. Podemos combinar cualquiera de estos $2^{\binom{14}2}$ relaciones con cualquier conjunto de pares ordenados de la forma $\langle x,x\rangle$ y aún así tener una relación simétrica. Desde $|A|=14$, $14$ tales pares y, por tanto, $2^{14}$ conjuntos de ellos. Que nos da un total de
$$2^{\binom{14}2}\cdot 2^{14}=2^{\binom{14}2+14}$$
relaciones simétricas en $A$. Finalmente,
$$\binom{14}2+14=\frac{14\cdot13}2+14=\frac{14\cdot13+2\cdot14}2=\frac{15\cdot14}2=\binom{15}2\;,$$
como en su respuesta. De manera más general,
$$\binom{n}2+n=\frac{n(n-1)}2+n=\frac{n(n-1)+2n}2=\frac{n(n+1)}2=\binom{n+1}2\;.$$
