Demostrar que un conjunto de niveles no es un submanifold incrustado de $\mathbb R^2$

Question

Estaba tratando de probar lo siguiente:

Dejemos que $F(x,y)=x^3+xy+y^3$ definirse en $\mathbb R^2$ . Demostrar que $F^{-1}[\{0\}]$ no es un submanifold incrustado de $\mathbb R^2$ .

He comprobado que $(0,0)$ no es un punto regular de $F$ y es un punto de la silla de montar. He leído en otra pregunta que esto implica $F^{-1}[\{0\}]$ es la imagen de una curva suave con auto-intersecciones.

Me gustaría resolver este problema sin utilizar este "resultado", ya que no conozco una prueba del mismo y no he encontrado ninguna en ningún sitio, o bien me gustaría tener una referencia de dicha prueba.

Answer 1

Como has notado, $p:=(0,0)$ es un punto crítico no degenerado de $F$ lo que significa que $\nabla_pF=0$ y $H_pF$ la matriz hessiana de $F$ en $p$ es invertible, en efecto, se tiene la siguiente igualdad: $$H_pF=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$ Por lo tanto, el uso de El lema de Morse (fórmula de Taylor+teorema de la función inversa), hasta un cambio de coordenadas enviando el origen sobre el origen, en una vecindad de $(0,0)$ uno tiene eso: $$F(x,y)=x^2-y^2.$$ De ahí se desprende que $S:=F^{-1}(\{0\})$ no es un colector. Por ejemplo, se puede observar que $S\setminus\{(0,0)\}$ tiene $4$ componentes conectados, exactamente como el conjunto $\{x=y\}\cup\{x=-y\}$ menos el origen.

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Este es un esbozo de $S$ :

Como puede ver, en un barrio de $(0,0)$ , $S$ se puede enderezar en $\{x=y\}\cup\{x=-y\}$ que es exactamente lo que hemos hecho.

Answer 2

Supongamos por contradicción $M=F^{-1}[\{0\}]$ es un submanifold incrustado de $\mathbb R^2$ . Entonces es localmente una gráfica de una función alrededor de $(0, 0)$ es decir, existe una vecindad abierta $I\subset \mathbb R$ de $0$ , $h:\rightarrow \mathbb R$ suave y un barrio abierto $G\subset M$ de $(0, 0)$ tal que $G=\{(x, h(x)): x \in I\}$ ou $G=\{(h(x), x): x \in I\}$ . Supongamos que se trata del primer caso (ya que $F$ es simétrico, el segundo caso es análogo). Obsérvese que $h(0)=0$ .

Por cada $x \in I$ se deduce que:

$$x^3+xh(x)+h(x)^3=0$$ $$\Rightarrow 3x^2+h(x)+xh'(x)+3h(x)^2h'(x)=0$$ $$\Rightarrow 6x+2h'(x)+xh''(x)+6h(x)h'(x)^2+3h(x)^2h''(x)=0$$ $$\Rightarrow 6+3h''(x)+xh'''(x)+6h'(x)^3+12h(x)h'(x)h''(x)+6h(x)h''(x)h'(x)+3h(x)^2h'''(x)=0$$

La tercera línea nos dice que $h'(0)=0$ y la última línea nos dice que $h''(0)<0$ . Por lo tanto, por la prueba de la segunda derivada, existe una nhood abierta $J_0\subset I$ de $0$ tal que $h(x)<h(0)=0$ por cada $x \in J_0\setminus\{0\}$ .

Desde $G$ es abierto en la topología del subespacio, existe una nhood $J_1$ de $0$ tal que $J_1\subset J_0$ y $(0, 0)\in J_1\times J_1 \cap M\subset G$ . Desde $h(0)=0$ y $h$ es continua, $J_3=J_2\cap h^{-1}[J_2]$ es un nhood abierto de $0$ . Existe $\epsilon>0$ tal que $(-\epsilon, \epsilon)\subset J_2$ . Desde $J_2\subset J_0$ por el teorema del valor intermedio existe $a, b$ tal que $-\epsilon<a<0<b<\epsilon$ y $h(a)=h(b)$ . Desde $a, b \in J_2$ entonces $a, b, h(a), h(b) \in J_1$ . Desde $(a, h(a))$ y $(b, h(b))$ en M y $F$ es simétrica, se deduce que $(h(a), a), (h(b), b)\in M\cap J_1\times J_1\subset G$ . Así que existe $x, y \in I$ tal que $(h(a), a)=(x, h(x))$ y $(h(b), b)=(y, h(y))$ Así que..:

$$a=h(h(a))=h(h(b))=b$$

una contradicción.