El objeto tiene una densidad constante. ¿Podría alguien sugerirme uno?
¡Esto es muy inteligente! Es básicamente la definición más antigua de la proporción áurea
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Joe Gauterin
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Tomar el disco unitario, taladrar un agujero de radio $r$ centrado en $(1-r,0)$ . El límite del agujero tocará el límite del disco unitario. La forma resultante será una especie de media luna.
Sea $(x,0)$ sea el CM de esta forma. Si lo combinamos con el disco de radio $r$ que se eliminan, sabemos que el CM combinado es el origen. Esto significa que
$$\pi(1-r^2) x + \pi r^2 (1-r) = 0 \quad\implies\quad x = -\frac{r^2}{r+1}$$
Si $x = 1-2r$ el CM de la forma de "media luna" estará situado en su límite.
Resolver $\displaystyle\;1 - 2r = -\frac{r^2}{r+1}\;$ nos da $\displaystyle\;r = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{1}{\phi}$ ¡la inversa de la proporción áurea!
La cifra final tiene este aspecto:
$\hspace1in$ 
Yves Daoust
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La Luna.
Cuando está lleno, el centro de masa está en el centro del círculo.
Cuando es muy delgada, el centro de masa está en el lado cóncavo de la media luna.
En medio, hay un momento en el que el centro de masa está en el límite.
Anexo :
Despreciando la finitud de las distancias Luna/Sol y Luna/Tierra, una media luna está formada por medio círculo y media elipse, digamos de semieje largo vertical $1$ y semieje corto $s$ .
La posición horizontal del centro de masa viene dada por la relación
$$\frac{\int_{-1}^1(1-s)\sqrt{1-y^2}\frac12(1+s)\sqrt{1-y^2}dy}{\int_{-1}^1(1-s)\sqrt{1-y^2}dy}=\frac{4(1+s)}{3\pi}.$$
Varía entre $0$ (Luna llena) a $\dfrac8{3\pi}\approx85\%$ del radio (desvanecimiento).
La coincidencia se produce por $s=\dfrac4{3\pi-4}\approx74\%$ del radio.
@Tim No, es una respuesta perfectamente seria. El punto en el que el límite móvil de la luna corta el eje horizontal varía continuamente con el tiempo, al igual que la coordenada horizontal del centro de masa. Luego, por el teorema del valor intermedio, debe haber algún punto en el que estos valores coincidan.
La luna nueva es errónea, no tiene superficie visible, es decir, no tiene masa en esta representación. Pero aún así, gran respuesta
Shabaz
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Emilio Novati
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CodeMonkey1313
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Es difícil mejorar la respuesta de @YvesDaoust, pero esta hazaña atlética sugiere otra: en un salto de altura bien ejecutado, el centro de gravedad del saltador se mantiene muy por debajo de la barra, por lo que está fuera de su cuerpo. En algún momento del salto está en su límite.
Imágenes aquí, incluida una que es una respuesta directa a la pregunta: http://nrich.maths.org/2742
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Las láminas semicirculares concéntricas radios a,b<a se pueden determinar por cálculo variando b.
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Procure que el cuerpo de la pregunta sea razonablemente autónomo y no se base únicamente en el título para expresar el problema que debe resolver.