Función que isn ' t el Fourier transforma de función integrable de periódicos

Question

¿Qué es un ejemplo de una función $\phi : Z\rightarrow C$ tal que $\phi(n) \rightarrow 0$ $|n|\rightarrow\infty$, y $\phi$ no es la transformada de Fourier de algunas función $f\in L^1([-\pi,\pi])$?

Rudin prueba en Real y complejos análisis que tal un $\phi$ existe, pero la prueba no es constructiva.

Answer 1

Función es un ejemplo:

$$f(x)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}$$

Para la prueba, ver aquí.

Se basa en el hecho de que un $2 \pi$-función periódica $g$, Lebesgue-integrable en $[0,2 \pi]$, la suma $$\sum_{n=1}^\infty \frac{cn-c{-n}}{n}$$ is convergent where $ (cn) {n \in \mathbb Z} $ are the complex Fourier coefficients of $g $: $% $ $c_n = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} g(t)e^{-ikt} \ dt.$

Answer 2

Estoy bastante seguro de que $$\sum n^{-1/3}e^{i3^nt}$$da un ejemplo.

El punto es que lacunary de la serie se comportan como variables aleatorias independientes; la lacunary de la serie de la versión de Khintchine la desigualdad muestra que si un lacunary de la serie es en $L^1$ debe ser en $L^2$.

Ah, a la derecha. El punto es este:

Lema Si $a_n$ es acotado, entonces existe un complejo de medida $\mu$ $\Bbb T$ tal que $\hat\mu(3^n)=a_n$$n=1,2,\dots$$||\mu||\le c\sup|a_n|$.

Eso es una aplicación estándar de "Riesz productos". Supongamos que el lema es cierto que por un segundo, y vamos a ver cómo el principal resultado de la siguiente manera:

Teorema Si $f=\sum a_ne^{i3^nt}$$L^1$$f\in L^2$.

Prueba: El lema muestra que para cualquier secuencia de signos más y menos existe $\mu$, de modo que si $g=\sum\pm a_ne^{i3^nt}$$g=f*\mu$. Por lo tanto $||g||_1\le c||f||_1$, y, por tanto,$||g||_1\sim||f||_1$, ya que también tenemos $f=g*\mu$.

Así Fubini y la probabilística de la desigualdad de Khintchine muestran que $$||f||_1\sim\Bbb E||g||_1\sim\left(\sum|a_n|^2\right)^{1/2};$$in particular if $||f||_1$ is finite then $f\en L^2$.

Ahora el lema de la siguiente manera:

Lema' Si $-1/2\le a_n\le 1/2$ existe una probabilidad de medida $\mu$ $\Bbb T$ con $\hat\mu(3^n)=a_n$, $n=1,2,\dots$.

Prueba: Definir $$\mu_N=\prod_{n=1}^N(1+2a_n\cos(3^nt)).$$

Tenga en cuenta que $\mu_N\ge0$. Ahora, un entero dado tiene más de una representación, en la forma $\sum\epsilon_j3^j$, donde cada una de las $\epsilon_j$ $-1,0,$ o $1$; de ello se sigue que $$\hat\mu_N(0)=1$$and $$\hat\mu_N(3^n)=a_n\quad(n=1,2,\dots,N).$$

En particular,$||\mu_N||_1=1$; deje $\mu$ ser una débil estrella de la acumulación punto de $\mu_N$.