Usar axiomas de campo para una prueba simple

Question

Pregunta: Si $F$ es un campo, y $a, b, c \in F$, luego de demostrar que si $a+b = a+c$, $b=c$ mediante el uso de los axiomas de un campo.

Información relevante:
Campo Axiomas (para $a, b, c \in F$):

Además:
$a+b = b+a$ (Conmutatividad)
$a+(b+c) = (a+b)+c$ (Asociatividad)
$a+0 = a$ (Elemento de identidad que existe)
$a+(-a) = 0$ (Inverso existe)

Multiplicación:
$ab = ba$ (Conmutatividad)
$a(bc) = (ab)c$ (Asociatividad)
$a1 = a$ (Elemento de identidad que existe)
$aa^{-1} = 1$ (Inverso existe)

Propiedad Distributiva:
$a(b+c) = ab + ac$

Intento de solución:
No estoy seguro de por donde puedo empezar. Está bien para empezar con la adición de la inversa de una a ambos lados, como en el siguiente?
$(a+b)+(-a) = (a+c)+(-a)$ (Justificación?)
$(b+a)+(-a) = (c+a)+(-a)$ (Conmutatividad)
$b+(a+(-a)) = c+(a+(-a))$ (Asociatividad)
$b+0 = c+0$ (Definición de inverso aditivo)
$b = c$ (Definición de la identidad aditiva)

Me pregunto acerca de mi primer paso. Específicamente, los axiomas no se menciona nada acerca de hacer algo a ambos lados de una ecuación de forma simultánea. ¿Hay algún otro axioma que puede utilizar para justificar este paso?

Este es el Ejercicio 1, parte b de la Sección 1 de la página 2 de Halmos, Finito Dimensionales Espacios Vectoriales (libro de lectura para la diversión; esta no es una tarea (probablemente demasiado fácil ser una tarea problema de todos modos!)). En parte, me demostró que $0+a = a$, en el caso de que de alguna manera es de gran ayuda en este problema. Gracias!

Answer 1

El primer paso se justifica por la existencia de $-a$. No hay más axioma es necesaria para deducir que $(a+b)+(-a)=(a+c)+(-a)$. A ver que, simplemente escriba " $a+b=y=a+c$ (después de todo, es que dado que el $a+b=a+c$). Ahora, uno de la información de la definición de un campo es la función de la suma: $(u,v)\mapsto u+v$. La aplicación de a $u=y$$v=(-a)$, se obtiene el elemento $y+(-a)$. Pero, desde $y=a+b$, $y+(-a)=(a+b)+(-a)$. Del mismo modo, desde $y=a+c$, $y+(-a)=(a+c)+(-a)$. Por transitividad de la igualdad, se deduce que el $(a+b)+(-a)=(a+c)+(-a)$.

Tenga en cuenta que sería mucho más fácil añadir $(-a)$ a la izquierda en lugar de a la derecha. Esto le ahorrará el uso de conmutatividad.

Answer 2

Martín-Blas Pérez Pinilla sugiere que "=" puede ser considerado como un símbolo lógico, obedecer a la lógica de los axiomas. Si bien estoy de acuerdo que fundamentalmente es así, me gustaría señalar que no es posible considerar que una relación de equivalencia obedecer 'interna' de campo axiomas, porque, por ejemplo, los números racionales pueden ser tomadas como clases de equivalencia de un cierto conjunto de pares de números enteros, por lo que no es del todo correcto considerar la igualdad entre estos racionales como una lógica de la igualdad. También, Ittay cometido un error en el que se usó un simple axioma que permite la sustitución. Lo que usted necesita, de cualquier manera, es algo equivalente a la siguiente para cualquier campo $F$:

$a=a$ cualquier $a \in F$ [reflexividad =]

$a=b \Rightarrow b=a$ cualquier $a,b \in F$ [conmutatividad de la =]

$a=b \wedge b=c \Rightarrow a=c$ cualquier $a,b,c \in F$ [transitividad de =]

(Estos describir "=" como una relación de equivalencia en $F$)

$a=b \Rightarrow P(a)=P(b)$ cualquier $a,b \in F$ y el predicado $P$ [sustitución]

(Esto describe la sustitución, que puede ser utilizado para reemplazar los axiomas que rigen la manera de "=" y el campo de operaciones de interactuar. Ittay usado esto en uno de sus pasos.)

Estos nos permiten "hacer la misma cosa a ambos lados", por ejemplo:

Para cualquier $a,b,c \in F$ tal que $a=b$,

Deje $d=a+c$ [cierre por debajo de los +]

$a+c=a+c$ [transitividad de =; $a+c=d=a+c$]

$a+c=b+c$ [de sustitución; donde el predicado está dado por $P(x) \equiv (a+c=x+c)$]

Tenga en cuenta que para probar que algo es un campo, tenemos que demostrar el axioma de sustitución, que se reduce a probar que el siguiente conjunto equivalente de axiomas:

$a=b \Rightarrow a+c=b+c$ cualquier $a,b,c \in F$

$a=b \Rightarrow ac=bc$ cualquier $a,b,c \in F$

El problema original puede entonces ser probado de la siguiente manera:

Para cualquier $a,b,c \in F$ tal que $a+b=a+c$,

$b = 0+b = (-a+a)+b = (-a)+(a+b) = (-a)+(a+c) = (-a+a)+c = 0+c = c$

Answer 3

"Específicamente, los axiomas no mencionan nada acerca de hacer algo en ambos lados de una ecuación simultáneamente". Porque es un axioma lógico. Si tiene dos cosas iguales y hace lo mismo con ambas cosas, los resultados son iguales. Buscar "lógica de primer orden con identidad".