Quiero demostrar que el grupo de cuatro de Klein es un subgrupo normal del grupo alterno $A_4$ .
Estoy utilizando la información en este enlace que muestra explícitamente $A_4$ y el grupo de cuatro de Klein como subgrupo.
Sé que existe la forma directa, por definición, pero ¿hay alguna forma que no requiera realmente multiplicar tantas permutaciones?
Los elementos del Klein $4$ -grupo sentado en el interior $A_4$ son precisamente la identidad, y todos los elementos de $A_4$ de la forma $(ij)(k\ell)$ (el producto de dos transposiciones disjuntas).
Dado que la conjugación en $S_n$ (y por lo tanto en $A_n$ ) no cambia la estructura del ciclo, se deduce que este subgrupo es una unión de clases de conjugación, y por tanto es normal.
Lo aceptaré cuando el temporizador me lo permita. Me olvidé de que la conjugación no cambia la estructura del ciclo .. ¡Gracias!
@Belgi: Además, recuerda que en general basta con demostrar que $ghg^{-1}\in H$ y $g^{-1}hg\in H$ para cada $h$ en un grupo electrógeno para $H$ y cada $g$ en un grupo electrógeno de $G$ para demostrar que $H$ es normal en $G$ por lo que a menudo no es necesario calcular todas las posibles $ghg^{-1}$ Sólo algunos.
Gracias de nuevo. ¿Hay una manera simple de ver por qué este subgrupo es cerrado bajo multiplicación?
No es necesario calcular toda la tabla de Cayley de un grupo para obtener un isomorfismo. Creo que esto es lo que está luchando con lo que voy a poner un poco de detalle.
En primer lugar, sólo hay dos grupos de orden $4$ el grupo cíclico de orden $4$ y el grupo Klein, es bastante fácil de ver. Sea $G$ sea un grupo de orden $4$ por el teorema de Cauchy, ya que $2$ divide $4$ y $2$ es primo, existe un elemento de orden $2$ en $G$ . Dejemos que $a$ sea este elemento y $H = \langle a \rangle$ . Desde $[G:H] = 2$ , $H \triangleleft G$ Por lo tanto, para todos los $g \in G$ , $gag^{-1} \in H$ pero como $a \neq 1$ Debemos tener $gag^{-1} = a$ Es decir, $a$ conmuta con cada elemento de $G$ .
Considere un elemento fuera de $H$ Llámalo $b$ . Si tiene orden $4$ entonces $G = \langle b \rangle \cong C_4$ el grupo cíclico de orden $4$ . Si no es así, como el orden de un elemento divide el orden del grupo, y $b \neq 1$ entonces $b$ debe tener orden $2$ . Pero entonces el cuarto elemento no puede tener orden ni $1$ o $4$ por lo que debe tener un orden $2$ también. Por lo tanto, cada elemento no trivial de $G$ tiene orden dos, y usando el argumento anterior, se conmutan entre sí ; esto nos da el grupo $C_2 \times C_2$ que es precisamente el grupo de Klein, porque debemos tener $ab = c$ , $ac = b$ y $bc = a$ (por razones obvias, porque otras posibilidades conducen a contradicciones).
Ahora el subgrupo de $A_4$ , a saber $K=\{(1), (12)(34),(13)(24),(14)(23) \}$ es un subgrupo de orden $4$ . Como no es cíclico, es isomorfo al grupo de Klein. Conjugación en $S_n$ no cambia la estructura del ciclo, por lo que en particular no lo hace en $A_n$ . Esto significa que este subgrupo es normal, porque $gKg^{-1} \subseteq K$ que es una condición equivalente para la normalidad de un subgrupo.
Espero que eso ayude,
P.D. : Quizás haya utilizado mazos para clasificar grupos de orden $4$ pero sólo he lanzado las primeras ideas que se me han ocurrido; si quieres simplificarlas comentando, no dudes en hacerlo.
¿Por qué querrías clasificar grupos de orden 4? No creo que sea relevante. Además, el final del argumento es sólo una reescritura de la respuesta de Arturo...
Porque entonces mirando a este subgrupo $K$ de $A_4$ sabes que es isomorfo a $C_2 \times C_2$ observando que no hay ningún elemento de orden $4$ en este subgrupo ; en lugar de calcular el isomorfismo a mano (lo que pedía OP, es decir, "¿hay alguna manera sin multiplicar tantas permutaciones?"), sólo utilizo el hecho de que sé cuáles son los grupos de orden $4$ . El final del argumento es sólo una reescritura de hecho, pero no es el punto de mi respuesta.
La pregunta no era "¿cuál es el tipo de isomorfismo de este subgrupo?", sino "¿cómo puedo comprobar que es normal sin calcular 'tantos' productos?". (es decir, sin tener que comprobar $ghg^{-1}\in H$ para cada $h\in H$ y posiblemente cada $g\in G$ ).
Esto se puede hacer sin recurrir a las clases de conjugación o al resultado sobre los tipos de ciclos. Es elemental que los conjugados de cualquier elemento tengan el mismo orden que el elemento original.
Los elementos no identitarios del subgrupo Klein 4 identificado son los únicos elementos de $A_4$ que tienen orden 2 (los otros ocho elementos tienen orden 3). Por tanto, las únicas imágenes posibles bajo conjugación se encuentran dentro del grupo. Es fácil completar esta observación con una demostración.
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@Chris Eagle - lo olvidé, lo añadí al post