Si $n,k \in\mathbb N$ resolver $2^8+2^{11}+2^n=k^2$ .

Question

Si $n,k \in\mathbb N$ resolver $$2^8+2^{11}+2^n=k^2$$

Es difícil para mí encontrar una idea. Algo de ayuda sería genial. Gracias.

Answer 1

Primero asume $n \ge 8$ y escribir $n=m+8$ que tenemos: $$(2^4)^2(1+2^3+2^m)=k^2$$ Esto sólo es posible si $1+2^3+2^m=9+2^m$ es un cuadrado perfecto. Si lo es, entonces podemos escribirlo como $(3+p)^2$ (ya que es obviamente mayor que $3$ ), y por lo tanto: $$9+6p+p^2=9+2^m$$ $$ \Leftrightarrow p(6+p)=2^m$$ En particular, $p=2^r$ y $6+p=2^{m-r}$ para algunos $1 \le r \le m$ (note que $r=0$ es imposible). De esto obtenemos $6+p=6+2^r=2(3+2^{r-1})=2^{m-r}$ y la única solución a esta ecuación es $r=1$ , $m=4$ . Por lo tanto, la única solución para $n \ge8 $ es $n=12$ que nos da: $$2^8+2^{11}+2^{12}=80^2$$

Ahora para $0 \le n<8$ lo hemos hecho: $$2^n(2^{8-n}+2^{11-n}+1)=k^2$$ Dado que el número entre paréntesis no puede ser un múltiplo de $2$ observamos que $n$ debe ser parejo. Esto nos deja con la condición de que $2^{8-n}+2^{11-n}+1$ es un cuadrado. Ese número es exactamente: $$2^{8-n}3^2+1$$ Para $n=6$ tenemos $2^23^2+1=37$ que no es un cuadrado.

Para $n=4$ tenemos $2^43^2+1=145$ que no es un cuadrado.

Para $n=2$ tenemos $2^63^2+1=577$ que tampoco es un cuadrado.

Finalmente para $n=0$ tenemos $2^83^2+1=1153$ que tampoco es un cuadrado.

Por lo tanto, la única solución es $n=12$ .

Answer 2

PISTA:

Tenemos $ \displaystyle2 ^8+2^{11}=2304$

Ahora, $2^8+2^{11}+2^0=2304+1 \ne k^2$

$ \displaystyle 2^8+2^{11}+2^1=2304+2 \equiv2\pmod8 $ pero $a^2 \equiv0 ,1,4 \pmod8 $

Así que.., $n \ge2 $ deja $n=m+2$ donde $m \ge0 $

$ \displaystyle 2^8+2^{11}+2^{m+2}=4(576+2^m) \implies 576+2^m$ debe ser un cuadrado perfecto

Como cualquiera de los métodos $m \ge2 $ deja $m=r+2$ donde $r \ge0 $

$ \displaystyle576 +2^{r+2}=4(144+2^r)$

Sigue este paso

Una observación : $$(2^4)^2+2 \cdot2 ^4 \cdot2 ^6+(2^6)^2=(2^4+2^6)^2$$

Answer 3

Esto es sólo una solución parcial.

asumimos primero que $n>8$ y vemos $2^8+2^{11}+2^n=k^2$ como

$2^8(1+2^3+2^{n-8})=k^2$ vemos $2^8$ es un cuadrado...

así que el problema se reduce a ver cuándo $1+2^3+2^{n-8}$ ser un cuadrado..

Como hemos asumido $n>8$ tendríamos $1+2^3+2^{n-8}$ para ser un entero impar.

Ahora, cualquier cuadrado perfecto del impar es congruente con $1$ modulo $8$

vemos que $1+2^3$ es congruente con $1$ modulo $8$

así que el problema es hacer $2^{n-8}$ como $0$ modulo $8$

es decir, para hacer $n-8=3k$

el caso menos posible sería $k=1$ es decir.., $n=12$

Traté de repetir esto y dejé $k=2$ pero entonces no funciona.

siendo congruente con $1$ mod $8$ es sólo una condición necesaria pero no suficiente, así que no puedo decir que esto funcione para todos $k \geq 2$ .

tratando de resolver esto completamente durante mucho tiempo sin éxito. Así que pensé en publicar lo que he hecho y esperar algunas sugerencias.