Importancia del lema de normalización de Noether

Question

El lema de normalización de Noether establece que si $k$ es un campo, y $A$ una generación finita de $k$ -entonces existen elementos $z_1,...,z_m \in A$ tal que

(i) $z_1,...,z_m$ son algebraicamente independientes sobre $k$

(ii) $A$ es finito sobre $B=k[z_1,...,z_m]$ .

Entiendo el teorema y su demostración, pero me cuesta ver su importancia. ¿Qué nos dice esto realmente? Y lo que es más importante, ¿hay alguna afirmación fuerte que de repente se convierta en una consecuencia trivial del teorema? De momento es sólo una afirmación para mí; no lo veo en un contexto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Si ha encontrado el lema de normalización de Noether en un libro de álgebra conmutativa, siga leyendo. Verá muchas aplicaciones, por ejemplo en la teoría de la dimensión. El lema implica, por ejemplo, la fórmula fundamental $\dim(X)=\mathrm{trdeg}(K(X)/k)$ para las variedades afines $X$ sobre un campo $k$ y que $\dim(X \times_k Y) = \dim(X) + \dim(Y)$ si $X,Y$ son variedades afines sobre $k$ . El lema es el principal ingrediente de la prueba de Lemma de Zariski que a su vez implica Nullstellensatz de Hilbert .

Por cierto, el lema tiene una bonita interpretación geométrica: Toda variedad afín sobre un campo tiene un mapa finito a algún espacio afín $\mathbb{A}^n$ (y esto $n$ es la dimensión de la variedad). Véase SE/986279 para un ejemplo concreto. En el libro de Eisenbud sobre el álgebra conmutativa también se encuentra una versión más fina que comienza con una secuencia de subvariedades que luego corresponde a la secuencia $\mathbb{A}^0 \subseteq \mathbb{A}^1 \subseteq \dotsc \subseteq \mathbb{A}^n$ .

Answer 2

Otra buena aplicación es el suavidad genérica de tipo finito geométricamente reducido $k$ -esquemas. La intuición es muy sencilla: Como explicó Martin, la normalización de Noether dice que cualquier tipo finito afín $k$ -sistema $X$ admite un mapa suryectivo finito $\pi: X\to {\mathbb A}_k^n$ sobre algún espacio afín ${\mathbb A}_k^n$ . Se puede imaginar tal $\pi$ como una especie de cubierta ramificada de ${\mathbb A}_k^n$ en particular, intuitivamente se debería obtener una cobertura honesta eliminando de ${\mathbb A}_k^n$ el conjunto cerrado $Z$ de puntos de ramificación, y luego $X\setminus\pi^{-1}(Z)$ debe heredar la suavidad de ${\mathbb A}_k^n\setminus Z$ .

Esto era muy vago e informal, pero en realidad se puede precisar: Primero, si $X=\text{Spec}(A)$ es geométricamente reducida e integral (podemos suponerlo sin pérdida de generalidad) y finitamente suryente sobre ${\mathbb A}_k^n=\text{Spec}(k[X_1,...,X_n])$ a través de algunos $\pi: X\to {\mathbb A}_k^n$ la planitud genérica nos dice que hay algún tipo de no evanescencia $f\in k[X_1,...,X_n]$ tal que $A_f$ es libre/plana sobre $k[X_1,...,X_n]_f$ por lo que podemos asumir desde el principio que $X$ admite un morfismo finito y plano $\pi: X\to O$ a un subesquema abierto de ${\mathbb A}_k^n$ . En esta situación, el discriminante $\text{disc}(\pi)\in{\mathscr O}(O)$ de $\pi$ describe sus puntos de ramificación. En el punto genérico, $\text{disc}(\pi)\in k(O)$ mide la separabilidad de la extensión finita $k(X)/k(O)$ lo que está asegurado por nuestra suposición de reducción geométrica de $X$ . Por lo tanto, $\text{disc}(\pi)\neq 0$ y los puntos de ramificación forman un subesquema cerrado propio $Z$ de $O$ . Eliminando este subesquema, obtenemos un morfismo finito, plano y no ramificado, es decir, una cubierta étale finita, $\pi: X\setminus\pi^{-1}(Z)\to O\setminus Z$ y la suavidad de $O\setminus Z$ se hereda a $X\setminus\pi^{-1}(Z)$ .