Si definimos un ángulo a ser una medida de la rotación, con el lado inicial del ángulo correspondiente a la dirección en la que inicialmente la cara y el lado del terminal correspondiente a la dirección en la que nos enfrentamos después de la rotación, debemos ser capaces de calcular sin referencia al tamaño de un círculo (ya que estamos considerando la rotación alrededor de un único punto).
Sabemos que, geométricamente, que la circunferencia de cualquier círculo es $2\pi r$ nos da la constante de $2\pi$ de lo que corresponde a un 'completo' rotación cuando dividimos la (potencialmente engañosa) tamaño (radio) del círculo. Una vez se ha definido la unidad de medida para la rotación (basada en un "giro completo'), a continuación definimos más grandes y más pequeñas rotaciones como fracciones de un 'giro completo", es decir, como la misma fracción de $2\pi$. Esta correspondencia factores, mediante el cómputo de arclength/radio, del mismo modo que nos da una medición constante (independientemente de la longitud del arco) durante la rotación correspondiente al ángulo a través del cual hemos girado.
Para responder a su pregunta, radianes son sólo una forma particular de la medición de un ángulo mediante la medición de una longitud que es una distancia fija de distancia desde el punto de rotación de tal manera que la distancia fija no afecta a la medición de la rotación.
Yendo más lejos, está claro que los ángulos no puede ser medido por la cantidad de "espacio" entre la inicial y los laterales del terminal, ya que la longitud de los lados que podía ser más o menos "espacio". También, la rotación no se puede medir con una regla, ya que estamos de pie en el mismo lugar y la rotación - no ha habido ninguna distancia recorrida. Por lo tanto debemos proyectar nuestra rotación hacia el exterior desde el punto de rotación (de radio), con el fin de tener una distancia a medir. Pero, no queremos que radio a afectar a la medición de la rotación, y ya podemos ver que la proyección de un radio de 2 pies da una diferente de la distancia recorrida (longitud de arco) que proyecta una radio de 1 pie da la misma cantidad de giro. Estas diferencias en la longitud del arco se basan únicamente en el radio de la proyección, y que cuando la radio se divide, las proporciones de todos los finales iguales para la misma cantidad de giro, independientemente de la radio que se usa para medir. Por lo tanto, tenemos un método consistente de medición de la rotación.
