Me he encontrado con lo que yo creo que son dos alternativas, formas válidas para demostrar que la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\tan^{-1}{n}}{n}$ diverge. Esperemos que alguien puede que me haga saber si éstos llevan a cabo.
(1) La Comparación Directa De La Prueba:
Para $x$ superior al $1.557$ o así (una aproximación, basada en el trazado), $\frac{\tan^{-1}{x}}{x} \geq \frac{1}{x}$. Así,$N = 1$$n > N$,$\frac{\tan^{-1}{x}}{x} \geq \frac{1}{x} \geq 0$, donde la serie armónica diverge. Por lo tanto, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\tan^{-1}{n}}{n}$ también diverge por comparación directa.
(2) Límite De La Prueba De Comparación:
De nuevo tomar nuestra serie de comparación que la serie armónica. Obtenemos: \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{\tan^{-1}{n}}{n}}{\frac{1}{n}} & = \lim\limits_{n \to \infty} \tan^{-1} n \\ & = \frac{\pi}{2} \end{align*} Desde este cociente es un número finito $\neq 0$, podemos concluir que ambas series convergen o ambas divergen. Desde que la serie armónica diverge, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\tan^{-1} n}{n}$ también diverge.
¿Cómo estas?
Gracias de antemano.
