¿Cuál es la diferencia entre el núcleo y el espacio nulo?

Question

¿Cuál es la diferencia, si es que hay alguna, entre núcleo y espacio nulo ?

Anteriormente entendía el núcleo sea de un mapa lineal y el espacio nulo sea de una matriz: es decir, para cualquier mapa lineal $f : V \to W$ ,

$$\ker(f) \cong \operatorname{null}(A),$$

donde

• $\cong$ representa un isomorfismo con respecto a $+$ y $\cdot$ y
• $A$ es la matriz de $f$ con respecto a algunas bases de origen y de destino.

Sin embargo, el año pasado tomé una clase con un profesor que utilizaba $\ker$ en las matrices. ¿Fue sólo un abuso de la notación o he tenido las cosas mezcladas todo el tiempo?

Answer 1

Los términos "núcleo" y "espacio nulo" se refieren al mismo concepto, en el contexto de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Es más común en la literatura utilizar la palabra espacio nulo cuando se refiere a una matriz y la palabra núcleo cuando se refiere a una transformación lineal abstracta. Sin embargo, el uso de cualquiera de las dos palabras es válido. Nótese que una matriz es una transformación lineal de un espacio vectorial de coordenadas a otro. Además, la terminología "kernel" se utiliza ampliamente para denotar el concepto análogo al de las transformaciones lineales para los morfismos de otras estructuras algebraicas diversas, por ejemplo, grupos, anillos, módulos y, de hecho, tenemos una definición de kernel en el contexto muy abstracto de las categorías abelianas.

Answer 2

"¿Fue sólo un abuso de la notación o he tenido las cosas mezcladas todo el tiempo?" Ninguna de las dos cosas. Diferentes cursos/libros mantendrán/no mantendrán tal distinción. Si una matriz representa alguna transformación lineal subyacente de un espacio vectorial, entonces el núcleo de la matriz podría significar el conjunto de vectores enviados a 0 por esa transformación, o el conjunto de listas de números (interpretados como vectores en $\mathbb{R}^n$ representando esos vectores en una base determinada, etc.

El contexto debería dejar las cosas claras y todas las afirmaciones sobre, por ejemplo, las dimensiones de los núcleos/espacios nulos deberían seguir siendo válidas a pesar de la ambigüedad.

Como dijo manos, "kernel" se usa de forma más general mientras que "nullspace" se usa esencialmente sólo en Álgebra Lineal.