Si $ a^a\mid b^b $, a continuación, para cada prime $ p$ tal que $ p\mid a$ debemos tener $ p\mid b $ porque $ p\mid b^b $ implica $ p\mid b $. Por lo tanto, podemos escribir el primer factorizations de $ a$$ b$$a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r} $$ b=p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}\cdots $. Por lo tanto $$ a^a=p_1^{a\alpha_1}\cdots p_r^{a\alpha_r} ,$$ $$ b^b=p_1^{b\beta_1}\cdots p_r
^{b\beta_r}\cdots $$
Así que si $ a^a\mid b^b $ debemos tener $ a\alpha_i\le b\beta_i $, para cada $1\le i\le r$, pero esto no significa que $\alpha_i\le \beta_i $ por cada $ i $. Podría ocurrir que para algunos $ i$, $ \alpha_i> \beta_i $ , lo cual implicaría que el $ a \not\mid b $.
Como ejemplo tenemos el contraejemplo dado en la primera respuesta: $4^4\mid 10^{10} $, pero $4\not\mid 10$. En este caso,$ r=1, p_1=2, \alpha_1=2$$\beta_1=1$. Así que tenemos $4\cdot 2\le 10\cdot 1$, pero $2> 1$.