Si$a^a$ divide$b^b$, entonces$a$ divide$b$?

Question

Considerar $a$ y $b$, ambos enteros positivos. ¿Es cierto que $a^a$ $b^b$ de divide implica divide a $a$ $b$?

Parece que no puedo entender esta prueba. Mi intuición es utilizar el Teorema fundamental de la aritmética para dividir cada número en sus componentes principales, sin embargo no he podido llegar a una solución. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Esto no es cierto en general. El hecho de que $4^4$ divide $10^{10}$ sería el más pequeño contraejemplo, creo.

Así que ¿por qué no la proposición no? Para cualquier entero $n$, $\operatorname{rad}(n)$ (para "radical") es el número con el mismo de los números primos en su primer factorización como $n$, pero todos los poderes se $1$. Por ejemplo, $\operatorname{rad}(12) = 6$$\operatorname{rad}(98) = 14$. A continuación, nos hacen tener "$a^a$ divide $b^b$ implica que el $\operatorname{rad}(a)$ divide $\operatorname{rad}(b)$", es decir, cada primer que aparece en el primer factorización de $a$ aparece en el primer factorización de $b$. Sin embargo, no tenemos ninguna manera de controlar, por cualquier de los números primos, que el poder de que el primer es menor en $a$$b$. Solo sabemos que para cualquier de los números primos, $a$ veces su exponente en $a$ es de menos de $b$ veces su exponente en $b$. Por lo tanto, si $b$ es lo suficientemente grande, y sólo contiene el derecho de los números primos, obtenemos $a^a$ divide $b^b$, no importa cuántas veces los números primos se dividen $b$.

Answer 2

Las excepciones serán de la siguiente forma:

Supongamos que el primer factorización de $a$ $a=p_1^{e_{a_1}}p_2^{e_{a_2}}\cdots p_n^{e_{a_n}}$ todos los $p_i$ distintos números primos y con todas las $e_{a_i}\ge 1$ y al menos un $e_{a_i}\ge 2$. Entonces

• $b$ es divisible por $p_1p_2\cdots p_n$ y puede ser escrito como $b=c p_1^{e_{b_1}}p_2^{e_{b_2}}\cdots p_n^{e_{b_n}}$ $c$ coprime a $a$ y todos los $e_{b_i}\ge 1$
• por lo menos un $i$ hay $e_{b_i}\lt e_{a_i}$ $a$ no divide $b$
• para todos los $i$ hay $ae_{a_i}\le be_{b_i}$ $a^a$ divide $b^b$

Para revertir esta para generar todas las posibles excepciones

• elija un número positivo $n$ de los distintos números primos $p_1,p_2,\ldots,p_n$
• elegir el mismo número de $n$ de los enteros positivos $e_{a_1},e_{a_2},\ldots,e_{a_n}$ no todos los $1$
• elegir el mismo número de $n$ de los enteros positivos $e_{b_1},e_{b_2},\ldots,e_{b_n}$ donde por lo menos uno de los $i$ $1 \le e_{b_i}\lt e_{a_i}$
• encontrar un número de $c$ coprime a $p_1p_2\cdots p_n$ y al menos el $p_1^{e_{a_1}-e_{b_1}}p_2^{e_{a_2}-e_{b_2}}\cdots p_n^{e_{a_n}-e_{b_n}} \displaystyle \max_i\left(\frac{e_{a_i}}{e_{b_i}}\right)$
• tome $a=p_1^{e_{a_1}}p_2^{e_{a_2}}\cdots p_n^{e_{a_n}}$ y $b=c p_1^{e_{b_1}}p_2^{e_{b_2}}\cdots p_n^{e_{b_n}}$

Answer 3

Si $a^a\mid b^b$, a continuación, para cada prime $p$ tal que $p\mid a$ debemos tener $p\mid b$ porque $p\mid b^b$ implica $p\mid b$. Por lo tanto, podemos escribir el primer factorizations de $a$$b$$a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$$b=p_1^{\beta_1}\cdots p_r^{\beta_r}\cdots$. Por lo tanto $$a^a=p_1^{a\alpha_1}\cdots p_r^{a\alpha_r} ,$$ $$b^b=p_1^{b\beta_1}\cdots p_r ^{b\beta_r}\cdots$$

Así que si $a^a\mid b^b$ debemos tener $a\alpha_i\le b\beta_i$, para cada $1\le i\le r$, pero esto no significa que $\alpha_i\le \beta_i$ por cada $i$. Podría ocurrir que para algunos $i$, $\alpha_i> \beta_i$ , lo cual implicaría que el $a \not\mid b$.

Como ejemplo tenemos el contraejemplo dado en la primera respuesta: $4^4\mid 10^{10}$, pero $4\not\mid 10$. En este caso,$r=1, p_1=2, \alpha_1=2$$\beta_1=1$. Así que tenemos $4\cdot 2\le 10\cdot 1$, pero $2> 1$.