Base Ortonormal contable explícita para$L^2(\mathbb{R})$

Question

Yo estaba con mi trabajo de tesis y que necesitaba usar la existencia de una contables ortonormales base de $L^2(\mathbb{R}).$

Debe ser cierto que el Espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ es separable, esto debido a que la medida del espacio de $(\mathbb{R},\lambda),$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue, es $\sigma-$finito.

Ahora bien, esto implica que existe una contables ortonormales base, pero esto viene de un tipo abstracto de razonamiento, es decir, el Lema de Zorn para la existencia de una base ortonormales y el uso de separar a decir que es contable.

La pregunta que vino para mí es: ¿hay una representación explícita de esta base?

La respuesta debería ser que no, de lo contrario el uso de la continua transformación de Fourier no tiene mucho sentido, pero quién sabe, tal vez hay algunas buenas razones para preferir la continua transformación, incluso si hay una contables.

Mi idea era tomar la inspiración de el sistema de $\{sin(\frac{n x}{m})\}_{n,m\in\mathbb{N}},$ pero no sé cómo continuar.

Answer 1

Como en los comentarios, las funciones de Hermite de trabajo. Usted puede pensar en ellos como obtenidas mediante la aplicación de Gram-Schmidt a las funciones de $x^n e^{- \frac{x^2}{2} }$ (hasta algunos de los factores de $2$ dependiendo de su convenciones).

El punto de la base de Fourier de $L^2(S^1)$ es no sólo que es una contables ortonormales, es también que diagonalizes traducción, o dicho de otra manera, que diagonalizes diferenciación; por eso, es útil para la resolución de ecuaciones diferenciales, que fueron la motivación original para la serie de Fourier (Fourier se utiliza para resolver la ecuación del calor). La base de Hermite es genial, pero no lo hacemos.