raíces de polinomios cuadráticos son números enteros positivos

Question

Encontrar el entero positivo números $a,b,c$ tal que todas las raíces de los polinomios cuadráticos son números enteros positivos

1) $x^2−2ax+b=0$

2) $x^2−2bx+c=0$

3) $x^2−2cx+a=0$

Lo siento pero no sé qué :((por favor ayudame :((

Answer 1

La única solución en los enteros positivos es $a=b=c=1$.

Para las ecuaciones tener entero raíces, sus discriminantes debe ser cuadrados perfectos. Tomando la primera ecuación por ejemplo, esto significa $a^2-b$ debe ser un cuadrado perfecto. Pero $a^2-b \lt a^2$, por lo que debe ser menor o igual que el siguiente más pequeño cuadrado perfecto por debajo de $a^2$$(a-1)^2$. Por lo tanto:

$$a^2-b \le (a-1)^2 = a^2 - 2a +1 \quad \iff \quad b + 1 \ge 2a$$

La adición de la $3$ similar desigualdades en conjunto da:

$$a+b+c+3 \ge 2(a+b+c) \quad \iff \quad a+b+c \le 3$$

El último ha $a=b=c=1$ como la única solución en los enteros positivos, en cuyo caso todos los $3$ ecuaciones se reducen a $x^2-2x+1=(x-1)^2=0$ con el entero positivo $1$ como una doble raíz.

Answer 2

Sugerencia:

El caso trivial donde $a=b=c=1$ te da el % polinomio monic $x^2 - 2x + 1$que por regla de Descarte de muestras tiene dos raíces positivas y por Teorema de la raíz racional tiene dos raíces tanto $x=1$.