¿Cómo uno muestra que el $K_1 \cap K_2 $ es compacto, cuando $K_1 , K_2$ compacto?

Question

Deje $(X,d_X) $ ser un espacio métrico y $K_1 , K_2 $ ser compacto subespacios de $X$. Pregunta: ¿cómo hace uno para mostrar que $K = K_1 \cap K_2$ es compacto?

Traté de demostrar esto al señalar el siguiente teorema: Vamos a $Y \subseteq X$. Si $X$ es compacto y $Y$ es cerrado en $X$, $Y$ es compacto.

Sabemos, que los espacios compactos están cerrados. Así, en particular, sabemos que $K_1$ $K_2$ están cerrados. También sabemos, que los cruces de subespacios cerrados son cerradas, por lo $K$ es cerrado en $\Omega$. También sabemos, que $K \subseteq K_1$. Podemos aplicar este teorema, si podemos demostrar que $K$ es cerrado en $K_1$.

Pregunta: ¿cómo hacemos esto? Podemos hacer todo esto, dada la información anterior?

Por otra parte, me pregunto si estoy en el camino correcto, o si hay algún otro, quizás "más fácil" para mostrar que $K$ es compacto?

Answer 1

Son buenos, sigues por! Un conjunto compacto es cerrado y un sistema cerrado en un conjunto compacto es compacto (todo esto en un espacio métrico).

Answer 2

Directamente: Dado un abierto de la cubierta $K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i$, se obtiene una cubierta abierta $K_1=(X\setminus K_2)\cup \bigcup_{i\in I} U_i$ $K_1$ porque $K_2$ es cerrado. De un número finito de subcover herof para $K_1$ (debido a $K_1$ es compacto) es también un subcover para $K$ porque $K\subseteq K_1$. A partir de esto podemos soltar $(X\setminus K_2)$ porque es distinto a $K$. Por lo tanto, tenemos un número finito de subcover de la portada original de $K$, es decir, $K$ es compacto.

A lo largo de su trayectoria (más corto que utiliza útil lemas): Por definición de la topología de subespacio de un subespacio $A$$X$, un conjunto $B\subseteq A$ es (relativamente) cerrado iff $B=A\cap C$ para un subconjunto cerrado de $X$.

Answer 3

Estás en lo correcto. Sin embargo se debe mencionar que $X$ es Hausdorff, ya $X$ es Metrizable.

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Tenga en cuenta que no todo subconjunto compacto es cerrado.

Ejemplo 1: Vamos a $X= \mathbb R$ finitos complemento de la topología. Tenga en cuenta que$X$$T_1$, no $T_2$. No es difícil probar que $X$ es compacto. Ahora vamos a $S=\{0,1,2,\dots,n,\dots\}$. Tenga en cuenta que $S$ es compacto, sin embargo no se cierra.

Sin embargo es cierto para un espacio de Hausdorff.

Teorema 2: Cada subespacio compacto de un espacio de Hausdorff $X$ es un subespacio cerrado de $X$.

Prueba: Supongamos $A$ ser un subespacio compacto de $X$. Para cada $x\in X\setminus A$ existe un conjunto abierto $V\subset X$ tal que $x \in V$$A \cap V=\emptyset$, por lo que el $X \setminus A$ es un subconjunto abierto de $X$.