Ecuación de recurrencia para $(-1)^k k$

Question

En un proyecto de la mina me llegó a través de la relación de recurrencia $$ a_{n+1} = 1 -(n+1)\sum_{k=1}^n{\frac{a_k}{n-k+1}\binom{n}{k}},\quad a_1=2; $$

Desde el cálculo de los primeros términos parece obvio que $$ a_n = (-1)^{n+1}(n+1),\quad n\geqslant2, $$ y, una vez adivinado, esta solución puede ser verificado por inducción.

Mi pregunta es si hay una manera fácil de llegar a esta solución sin tener que adivinar. Funciones de generación de trabajo, pero al parecer innecesariamente difícil de manejar para un fácil-en busca de la recurrencia.

Answer 1

$a_0=-1$, Su repetición se convierte en

$$\sum_{k=0}^na_k\binom nk =f(n)=\begin{cases}-1 &\text{ if $n = 0 $,}\ 1 &\text{ if $n = 1 $,}\ 0 &\text{ if not.}\end{cases}$ $

Esto implica la relación inversa $$an=\sum{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}kf(k)=(-1)^{n}(-1)+(-1)^{n-1}n =(-1)^{n+1}(n+1)$ $ como se desee.

Answer 2

$$ a {n +1} = 1-\sum {k = 1} ^ n {\binom {n+1} {k} ak} $$ tal vez usar fórmula $$\sum{k=1}^n{(-1)^k k\binom{n}{k}}=0$ $