Evalúa la integral$\int_0^\infty t^6 e^{-4t} \, dt $

Question

¿Esta puede ser una pregunta muy básica, pero estoy tratando de evaluar la siguiente integral: $$ \int_0^\infty t ^ 6 e ^ {-4t} \, dt $$ alguna idea sobre cómo debo hacer para esto? Integración por las piezas parece ser razonable pero no seguro qué $v$ será igual a.

Gracias y perdón por la pregunta

Answer 1

Suponiendo que ya sabes cómo hacer el cambio de la variable $t\to4t$, usted puede agrandar el problema para que sea más fácil, como dicen, es decir, para calcular de un golpe cada integral $$I_n=\int0^\infty t^ne^{-t}dt$$ To do so, consider the series $$J(s)=\sum{n=0}^\infty I_n\frac{s^n}{n!}$$ and note that, interchanging the sum and the integrals, one gets $$J(s)=\int0^\infty \sum{n=0}^\infty\frac{(st)^n}{n!}e^{-t}dt=\int_0^\infty e^{st}e^{-t}dt=\int0^\infty e^{-(1-s)t}dt=\frac1{1-s}=\sum{n=0}^\infty s^n$$ at least for every $ | s | $$\int_0^\infty t^6e^{-4t}dt=\frac1{4^7}\int_0^\infty t^6e^{-t}dt=\frac1{4^7}I_6=\frac{6!}{4^7}$$

Y, una vez haya digerido todo esto, puede hacer peor que al leer la página de WP en la función Gamma... ¡Feliz lectura!

Answer 2

Integración por partes

Que $f(t)=t^6$ % que $f'(t)=6t^5$y $g'(t)=e^{-4t}$ % tan $g(t)=-\frac{1}{4}e^{-4t}$. Entonces $$\int{0}^{\infty}t^6e^{-4t}dt=\left[-\frac{1}{4}t^6e^{-4t}\right]{0}^{\infty}-\int{0}^{\infty}-\frac{6}{4}t^5e^{-4t}dt=\int{0}^{\infty}\frac{6}{4}t^5e^{-4t}dt$ $ continuando de esta manera, el coeficiente se convierte: $$\left(\frac{6}{4}\right)\left(-\frac{5}{4}\right)\left(\frac{4}{4}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{2}{4}\right)\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{720}{4096}$$ ($t ^ 5 $ is now reduced to $t ^ 0 = 1$) así $$\int{0}^{\infty}t^6e^{-4t}dt=-\int{0}^{\infty}-\frac{720}{4096}e^{-4t}dt=\left[\frac{720}{4096}\left(-\frac{1}{4}\right)e^{-4t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{720}{16384}=\frac{45}{1024}$ $

Answer 3

Sólo tienes que configurar

$$4t = q$$

por lo tanto

$$dt = \frac{dq}{4} ~~~ t = \frac{q}{4}$$

Entonces

$$\frac{1}{4^7}\int_0^{+\infty} q^6 e^{-q}\ dq$$

Que es un integral muy trivial que puede hacer con la ayuda del función Gamma (ver el enlace en el primer comentario debajo de tu pregunta).

De lo contrario puede divertirse e integrar por partes y piezas de una y otra vez.

Answer 4

El Dr. Sonnhard Graubner ahora eliminado respuesta podría haber sido más. Deje $D$ denotar la diferenciación operador $Dh:=h'$ para toda función derivable $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Entonces, estamos buscando una función derivable $G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $DG=g$ donde $$g(t)=t^6\,\exp(-4t)$$ para todos los $t\in\mathbb{R}$. Empezamos a $F(t):=\exp(4t)\,G(t)$ todos los $t\in\mathbb{R}$, por lo que la ecuación de $DG=g$ es el mismo que $$(D-4I)F=f\,,$$ donde $f(t):=\exp(4t)\,g(t)=t^6$ por cada $t\in\mathbb{R}$, e $I$ es el operador identidad (es decir, $Ih=h$ para toda la función $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$). En consecuencia, $$-4\,\left(I-\frac{1}{4}D\right)\,F=f\,.$$ Hacemos un Ansatz que $I-\frac{1}{4}D$ es invertible y que $$\sum_{r=0}^\infty\,\left(\frac{1}{4}D\right)^r=\left(I-\frac{1}{4}\,D\right)^{-1}\,,$$ donde $D^0:=I$. En otras palabras, $$F=-\frac{1}{4}\,\sum_{r=0}^\infty\,\frac{1}{4^r}\,D^rf\,.$$ Esto le da $$\begin{align}F(t)&=-\frac{1}{4}\,\left(t^6+\frac{6}{4}t^5+\frac{30}{4^2}t^4+\frac{120}{4^3}t^3+\frac{360}{4^4}t^2+\frac{720}{4^5}t+\frac{720}{4^6}\right) \\&=-\frac{1}{4}t^6-\frac{3}{8}t^5-\frac{15}{32}t^4-\frac{15}{32}t^3-\frac{45}{128}t^2-\frac{45}{256}t-\frac{45}{1024}\,. \end{align}$$ En consecuencia, una solución de $G$ $DG=g$está dado por $$G(t)=-\left(\frac{1}{4}t^6+\frac{3}{8}t^5+\frac{15}{32}t^4+\frac{15}{32}t^3+\frac{45}{128}t^2+\frac{45}{256}t+\frac{45}{1024}\right)\,\exp(-4t)\,.$$

Advertencia: El Ansatz no es cierto. El operador $I-\frac{1}{4}D$ ni es invertible, ni es representado por la serie anterior. Sin embargo, para el propósito de encontrar $G$, este Ansatz da una respuesta correcta (que puede ser justificado si nos restringimos a algunos pequeños subespacio del espacio vectorial de función derivable, tales como el espacio vectorial de funciones polinómicas).