¿Puede un vecindario de$\mathbb{R}^n$ ser contabilizable? Si es así, ¿cómo probarlo?

Question

Ok, entonces estoy teniendo un pequeño problema con una prueba más grande. Una parte más pequeña es si un vecindario de$\mathbb{R}^n$,$N(x,r,\mathbb{R}^n)$ es contable y, de ser así, cómo probarlo.

Estoy tratando de mostrar que un subconjunto de$\mathbb{R}^n$ es contable sabiendo que la intersección del subconjunto y un vecindario de$\mathbb{R}^n$ es contable.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Todos los no-vacío conjunto abierto en $\Bbb R^n$ tiene cardinalidad $2^\omega=\mathfrak c$, la cardinalidad de la línea real. De esta manera se sigue inmediatamente del hecho de que si $\varnothing\ne U\subseteq\Bbb R^n$ es abierto, entonces no están abiertos los intervalos de $(a_k,b_k)\subseteq\Bbb R$ $k=1,\dots,n$ tal que $$\prod_{k=1}^n(a_k,b_k)\subseteq U\;.$$ To see this, fix $c_k\en(a_k,b_k)$ for $k=1,\dots,n-1$, y observar que

$$\{c_1\}\times\{c_2\}\times\ldots\times\{c_{n-1}\}\times(a_n,b_n)\subseteq \prod_{k=1}^n(a_k,b_k)\subseteq U\;,$$

y es evidente que existe una bijection entre el$\{c_1\}\times\{c_2\}\times\ldots\times\{c_{n-1}\}\times(a_n,b_n)$$(a_n,b_n)$, que es bien conocido que tienen la misma cardinalidad como $\Bbb R$.

En resumen, todos los no-vacío conjunto abierto en $\Bbb R^n$ contiene un abierto segmento de línea.

Answer 2

Asumo $n\ge 1$. Cualquier vecindario de$x$ contendrá una bola abierta centrada en$x$. No es difícil mostrar que esta bola abierta es incontable. Supongamos sin pérdida de generalidad que el punto es$0$. Entonces podemos considerar el subconjunto incontable$(w,0,\dots)$ con$0<w<r$, donde$r$ es el radio de la pelota. Esto es claramente incontable, por lo que la pelota también lo es.