Encontrar todas las funciones $f(x+y)=f(x^{2}+y^{2})$ % positivos $x,y$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}$ tal que para cualquier %#% tiene #% los siguientes: $x,y\in \mathbb{R}^{+}$ $

Answer 1

Si $x+y=a$ $x^2+y^2$ es en el rango $\left[\frac{a^2}{2},a^2\right)$. Así $f$ debe ser constante en cualquier intervalo de $\left[b,2b\right)$ $b\in\mathbb R^+$.

Ahora definir $b_n=2^{n/2}$ $n\in\mathbb Z$. Entonces mostrar que $\bigcup_n [b_n,2b_n)=\mathbb R^+$ y que $b_{n+1}\in(b_n,2b_n)$. Esto significa que el $f$ debe ser constante en todos los $\mathbb R^+$.

Answer 2

Tomar el $y=x$. $f(2x)=f(2x^2)$, Donde, tomando $t=2x^2$, $f(t)=f(\sqrt{2t})$. Si utiliza esto, ver que $f(t)=f(\sqrt{2t})=f(\sqrt{2\sqrt{2t}})=f(2^{3/4}t^{1/4})=...$. Usted debe ser capaz de demostrar para cualquier entero positivo $n$, $f(t)=f(2^{1/2+1/2^n}t^{1/2^n})$. Si usted asume continuidad, ahora debe ser capaz de observar algo interesante dejando $n \to \infty$.

Answer 3

Si

$$f(A(x,y))=f(B(x,y))$$

conectado a un conjunto abierto de $(x,y)$ donde $A$ $B$ son funcionalmente independientes (tienen distinto de cero determinante Jacobiano), la función de $f$ es constante en ese conjunto .

Localmente uno tiene tanto $xy$-coordina y $AB$-coordenadas. De $(A,B)$ se puede llegar a todos lo suficientemente cerca como $(A + \epsilon_1, B + \epsilon_2)$ moviendo $A$-sólo y, a continuación, $B$- sólo a lo largo de la $AB$ coordenadas y este movimiento no cambia el valor de $f$. El movimiento puede ser rastreado en la $xy$ coordenadas (determinada únicamente por $A,B$ en un barrio pequeño), y esos caminos se puede llegar a un conjunto abierto de $(x,y)$ cerca de cualquier punto dado. Esta muestra $f$ es localmente constante. En un conjunto conectado que significa constante.

La traducción a este problema es: $A(x,y) = x+y$, $B(x,y)=x^2+y^2$, Jacobiana es $\pm(x-y)$, por lo que el conectado conjunto abierto de $(x,y)$ $0 < x < y$ puede ser utilizado. Este es un subconjunto de la permitida pares, pero que cubre todos los posibles valores de$A$$B$, y por lo tanto de $f(A)$$f(B)$. Así se resuelve el problema con un poco menos que el conjunto completo de supuestos, que es todavía una solución.

La necesidad de una independencia hipótesis puede ser visto a partir de casos como el de $B=A^3$ donde hay continuas soluciones no constantes en algunos intervalos.

Answer 4

Para cualquier % de positivos $a,b$contamos con:\begin{aligned} f(a) &=f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\right) \\ &=f\left(\big(\frac{a+b}{2}\big)^2+\big(\frac{a-b}{2}\big)^2\right) \\ &=f\left(\big(\frac{a+b}{2}\big)^2+\big(\frac{b-a}{2}\big)^2\right) \\ &=f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\right) \\ &=f(b)\end{alineado}