Si converge la secuencia $\{na_n\}$ y $\sum_{n=1}^\infty n(a_n-a_{n-1})$ converge, prueba $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.

Question

He estado teniendo problemas con el general de las pruebas de convergencia como esta, en la que actualmente estoy tratando de trabajar. Me parece muy duro para empezar.

Por ejemplo, para el uno en el título I $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n(a_n-a_{n-1}) = \sum_{n=1}^\infty na_n - \sum_{n=1}^\infty na_{n-1}$. Creo que este puede ser igual a cero, pero yo no estoy seguro sobre eso. Otra idea que yo tenía es que debido a $n$ es creciente hasta el infinito, esto significa $a_n$ debe ser la disminución de lo contrario $\{na_n\}$ sería divergentes. Es eso correcto?

Estoy teniendo muchos problemas con estos, por lo que cualquier empuje en la dirección correcta sería muy apreciada. Gracias chicos.

Answer 1

Este es Abel, es decir, la integración por partes.

El trabajo sobre las sumas parciales: $$ \sum_{1}^na_k=\sum_1^n(k+1-k)a_k=\sum_1^n(k+1)a_k-\sum_1^nka_k $$ $$ =\sum_2^{n+1}ka_{k-1}-\sum_1^nka_k $$ $$ =\sum_1^nk(a_{k-1}-a_k)+(n+1)a_n-a_0. $$ Ahora la suma parcial de la izquierda converge por supuesto, y $$ (n+1)a_n=\frac{n+1}{n}na_n\longrightarrow \lim_{n\rightarrow+\infty} na_n $$ Así que la serie converge a $$ \sum_{k=1}^{+\infty}a_k=-\sum_{k=1}^{+\infty}k(a_k-a_{k-1})+\lim_{n\rightarrow +\infty}na_n-a_0. $$