ODE dirección necesitada

Question

Esto no es de ninguna tarea. Sólo estoy tratando de encontrar la solución (ya sea explícita o implícita) de esta ODA.

$$(x+2y)\,dx + (y)\,dy = 0$$

El primer paso obvio es comprobar si esto es exacto, y si no, encontrar un factor de integración $\mu(x,y)$ de manera tal que se convertirá en uno cuando se multiplica por la función de $\mu$. No es exacto (se puede verificar rápidamente), así que aquí está lo que hice.

Multiplicar por $\mu$ y suponga que la ecuación es exacto:

$$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu(x,y)(x+2y))= \frac{\partial}{\partial x}(\mu(x,y)(y)) $$

$$ \mu_y(x,y)(x+2y) + 2\mu(x,y) = \mu_x(x,y)y $$

Ahora suponemos que $\mu(x,y)$ es una ecuación de sólo $x$ o sólo $y$. Si suponemos que el anterior, es inevitable terminar con $\mu'$ multiplicado por el $y$, por lo que la solución ($\mu$(x)) tendría que tener un $y$, lo cual estaría en contradicción con nuestra hipótesis original. Si vamos con el último ($\mu = \mu(y)$), entonces es claro que íbamos a terminar con el mismo problema o contradicción. Por lo tanto, nuestra función integradora/factor de $\mu = \mu(x,y)$, pero ahora que estaría fuera del ámbito de aplicación de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Además de eso, cada vez que intento hacer algunos símbolos de la sustitución de simplificar esto y terminar con una solución explícita, nunca funciona.

Me podría dar alguna orientación, por favor?

P. S: no me acaba de dar la solución (ya sea implícita o explícita). Fácilmente se puede conseguir que en Wolframalpha

Answer 1

en este tipo de ecuación puede ser útil tratar la sustitución $y=vx$ para que

$$ dy = vdx + x dv $$ esto puede ayudar a "separar las variables" y obtener un formulario de integrable

Answer 2

Reescribir como $2y+yy'+x=0$, y luego definir $y:=x \lambda(x)$, % independiente $\lambda, \lambda'$en el lado izquierdo y $x$s en el lado derecho. Es fácil desde allí.

¿Esto fue en el capítulo de ecuaciones exactas de tu libro? Tiendo a preferir otros métodos ya que son más rápidos, por lo que no veo ninguna razón para transformar esto en una ecuación exacta.

Answer 3

Como ya dicho en las respuestas, definir $y=x z$ y reemplazar. Terminas con $$x z \frac{dz}{dx}+(z+1)^2=0$$ where you can separate the variables $$-\frac{dx}{x}=\frac{z}{(1+z)^2}dz=\frac{1+z-1}{(1+z)^2}dz=\frac{dz}{1+z}-\frac{dz}{(1+z)^2}$$ Integrating both sides leads to $$-\log(x)+c=\log(1+z)+\frac{1}{1+z}$$ For more simplicity, define now $t=\frac{1}{1+z}$ and $a=-\log (x) + c $ and the equation write $$a=-\log(t)+t$$ for which the solution is $$t=-W\left(-e^{-a}\right)$$ where $W $ is Lambert function and then, after a series of replacements and simplifications $%% $ $y=e^{W\left(-e^{-c} x\right)+c}-x$