En mecánica cuántica los números complejos son absolutamente esenciales debido a la relación $$[\hat q_i,\hat p_j]=i\hbar\delta_{ij}.$$ Pero, ¿es también esencial el número complejo en alguna parte del formalismo de la física clásica, salvo para cierta comodidad de los cálculos matemáticos? ¿Hay algún ejemplo de la física clásica en el que no haya otra salida que introducir variables complejas? ¿Existe alguna razón de peso que me permita afirmar que los números complejos son inevitables también en la física clásica?
Respuesta
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En la mecánica hamiltoniana clásica tenemos la matriz simpléctica $\mathbb{J}$ que tiene la propiedad de que $\mathbb{J}^2 = -\mathbb{I}$ y desempeña un papel muy similar al de $i$ en las teorías cuánticas. Realmente no he visto una situación en la mecánica clásica de partículas en la que no se pudiera evitar el uso de la unidad imaginaria, pero su estructura simpléctica fundamental (que, nota al pie, es estructuralmente análoga a la unitaridad en muchos aspectos) introduce inevitablemente $\mathbb{J}$ al espacio de fase. Pero como se menciona en los comentarios, ¿por qué perseguir alrededor de senos y cosenos en una teoría lineal cuando $e^{i \omega t}$ ¿funciona igual de bien?
