Integral de Riemann de la función por partes distinta de cero solo en$1/n$ en$[0,1]$

Question

Estoy tratando de mostrar

$$\int_0^1 f(x)\;dx=0$$ where $f(x)$ is $1$ on $\frac{1}{n}$, $n\in\mathbb{N}^+$, y cero en todas las demás. Aquí va mi intento:

Proceder por inducción. Considere la integral de la suma de la $\int_{1}^1 f(x)\;dx$. Entonces esto es solo cero. Ahora supongamos $\int_{\frac{1}{n}}^1f(x)\;dx=0$. A continuación, $\int_{\frac{1}{n+1}}^1f(x)\;dx=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)\;dx+\int_{\frac{1}{n}}^1f(x)\;dx=\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)\;dx$ por hipótesis de inducción. Ahora consideremos una partición $P$$\Big[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\Big]$. Entonces a partir de la $f(x)$ sólo es distinto de cero en los extremos, $f(x)$ sólo es distinto de cero en la mayoría de los dos subintervalos. Deje $\epsilon>0$$\delta=\epsilon/2$. A continuación, $$||P||<\delta\implies|0-R(f,P)|=R(f,p)\leq 2\cdot||P||<2\delta=\epsilon$$ Por lo tanto, $\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)\;dx=0$.

Ahora aquí está la parte no estoy seguro acerca de. Entonces puedo decir

$$\int_0^1 f(x)\;dx=\int_0^0 f(x)\;dx + \sum_{n=1}^\infty\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)\;dx=0$$ desde cada una de las $\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}f(x)\;dx=0$?

Answer 1

Como se sospecha, utilizando la serie y (Riemann) de las integrales es un tema delicado. Permítanme sugerir una manera más segura y más corta alternativa.

Correctamente demostrado que para todos los $n \in \Bbb N \setminus \{0\}$

$$\int \limits _{\frac 1 n} ^1 f(x) \ \Bbb d x = 0 .$$

Teniendo en cuenta que $f \le 1$ y $\int _a ^b f \le \int _a ^b g$ siempre $f \le g$$[a,b]$, podemos escribir entonces que

$$\int \límites _0 ^1 f(x) \ \Bbb d x = \lim _{n \to \infty} \int \límites _0 ^1 f(x) \ \Bbb d x = \lim _{n \to \infty} \Bigg( \int \límites _0 ^{\frac 1 n} f(x) \ \Bbb d x + \underbrace{ \int \límites de _{\frac 1 n} ^1 f(x) \ \Bbb d x } _{y=0} \Bigg) = \lim _{n \to \infty} \int \límites _0 ^{\frac 1 n} f(x) \ \Bbb d x \le \\ \lim _{n \to \infty} \int \límites _0 ^{\frac 1 n} 1 \ \Bbb d x = \lim _{n \to \infty} \frac 1 n = 0 .$$

Answer 2

Considere la función definida por $$ f_n (x) = \begin{cases} 1 & 0 \le x < \frac{1}{n}\\ f(x) & \frac{1}{n} \le x \le 1 \end {cases} $$

Tienes para todos$x \in [0,1]$

ps

$$0 \le f(x) \le f_n(x)$ es una función de paso y$f_n$$$\int_0^1 f_n(x) \ dx =\frac{1}{n}$ f $ es Riemann integrable con

$ which enables to conclude that $$$\int_0^1 f(x) \ dx =0$ n \ to \ infty $