El valor medio de un chip seleccionado de una serie infinita de rollos

Question

Si puedo lanzar un par de dados un número infinito de veces, y siempre seleccione el valor más alto de los dos, la espera media de los valores más altos exceder de 3.5?

Parecería que esto se debe ya que si me di un millón de dados, y seleccionado el valor más alto cada vez, las probabilidades son abrumadoras que sixes estaría disponible en cada rollo. Por lo tanto, la espera significa que tendría que ser algo como 5.999999999999...

Sin embargo, me parece que no puede averiguar lo que el valor esperado con mi ejemplo usando solo 2 dados. Alguien me puede ayudar a llegar a un número? Sería apenas superan los 3.5? Esto es incluso algo que puede ser calculado?

Answer 1

No es necesario el uso de la simulación para esto, el caso general es bastante fácil de analizar. Deje $n$ el número de dados y $X$ ser el máximo de rollo hecho al rodar el $n$ dados.

De ello se sigue que $$ P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n $$ y, en general, $$ P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n $$ para $k$ entre 1 y 6. Por lo tanto, podemos obtener $$ P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n. $$

Por lo que podemos escribir de la distribución de probabilidad en forma cerrada. Haciendo esto $n = 2$ se puede obtener el valor esperado 4.472222.

Answer 2

Yo sugiero que simplemente trabajando a través del caso trivial para ver la respuesta.

Posibles resultados de lanzar dos dados generar una matriz de 6x6: $$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

El valor esperado de la suma es 7. Este es el caso, ya que los rollos son idénticos independiente dibujos, por lo que pueden ser resumidos. La expectativa de rodar una feria cúbico de morir es de 3.5.

Pero usted está preguntando acerca de la maximización. Ahora vamos a enumerar la maximización de lanzar dos dados. De nuevo, es una matriz de 6x6: $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

Calcular el valor esperado, así: $$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$$.

Aviso a la rodadura $n$ dados es (en un sentido probabilístico) equivalente a rodar un dado $n$ veces. Así que para rodar $n$ dados se puede ver cómo los cambios de la matriz y como la expectativa de los cambios, también.

Answer 3

El experimento también puede ser simulado. Este enfoque es útil cuando la enumeración es difícil (como 3 dados del balanceo).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

Answer 4

Suponiendo que cada una de las 36 combinaciones tiene una probabilidad igual, solo tenemos que añadir los valores de cada una de las 36 combinaciones y dividir por 36 para obtener el promedio de:

1. 1 posibilidad: 11
2. 3 posibilidades: 12, 21, 22
3. 5 posibilidades: 13, 23, 31, 32, 33
4. 7 posibilidades: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
5. 9 posibilidades: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
6. 11 posibilidades: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1*1 + 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11) / 36 = 4.47222..

Answer 5

Troll Dice Roller es la herramienta para encontrar dados probabilidades. Tiene un papel explicando la aplicación, pero es muy académica.

max(2d6)rendimientos

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642