Un problema de operador hermítica

Question

Es posible tener dos operadores hermítica $A$ et $B$, con:

$B^2 = \mathbb{I}d$

$[A,B] = i * \mathbb{I}d$

donde $i$ es generalmente (compleja) raíz cuadrada de $(-1)$ y $\mathbb{I}d$ es el operador de identidad?

(Creo que A no necesariamente es limitada, debido a la última condición)

¿Si es posible, podemos exhibir una representación explícita de estos operadores $A$ y $B$?

Answer 1

El conmutador $[A,B]$ es proporcional a $\mathbb{I}$ y por lo tanto conmuta con todo. Así $$A-BAB=AB^2-BAB=[A,B]B=B[A,B]=BAB-B^2A=BAB-A$ $ o $$A=BAB.$ $ pero luego $$[A,B]=AB-BA=(BAB)B-BA=BA-BA=0.$ $ Btw. de ello sigue que generaliza el resultado a los conmutadores con $$[A,B]=f(B).$ $

Answer 2

Esto es imposible. De hecho, voy a demostrar que si $A,B$ son operadores en una real o complejo de álgebra que $B$ ha finito multiplicativo de orden ( es decir, $B^{k} = I$ para algún entero positivo $k),$, entonces no podemos tener $AB -BA = cI$ por el no-cero escalares $c.$ Por otra parte, la inducción al argumento (debido a Wielandt, y ser encontrado en el enlace que figura en Jonas comentario) y que no requiere de ningún acotamiento de la asunción, demuestra que se ha $A(c^{-1}B)^{n} - (c^{-1}B)^{n}A = n(c^{-1}B)^{n-1}$ para cada entero positivo $n$. Tomando $n =k$ produce una contradicción, ya que, a continuación, el lado izquierdo es$0,$, pero el lado derecho es distinto de cero.

Un enfoque alternativo es tener en cuenta que si $AB - BA = I,$ $B$ no es un elemento algebraico (al $B$ es Hermitian, esto implica que el espectro de $B$ debe ser infinito). Por algebraica de operador, nos referimos a un operador $T$ tal que $f(T) =0$ para algunos monic polinomio $f(z) \in \mathbb{C}[z].$ tenga en cuenta que una expresión algebraica operador tiene un único mínimo polyomial, que es un único monic polinomio $p(z) \in \mathbb{C}[z]$ de menos grado sujeto a $p(T) =0.$ Para suponer que $B$ es algebraica, y deje $q(z)$ ser el polinomio mínimo de a $B,$ dicen de grado $r.$ $r >1$ desde $AB \neq BA.$, Luego tenemos a $0 = Aq(B) - q(B)A = (r-1)B^{r-1} +$ (unos combinación lineal de potencias inferiores a de $B$), por lo que el $h(B) =0$ para algunos monic monic polinomio $h(z) \in \mathbb{C}[z]$ grado $r-1,$ contrario al hecho de que el polinomio mínimo de a $B$ tiene el grado $r.$