Caracterización explícita de doble de $H^1$

Question

Vamos a empezar por algunos conocidos los hechos:

• $H^1(\mathbb{R})$ es un espacio de Hilbert, por lo tanto, no tiene la representación de Riesz teorema, que indica que cualquier funcional lineal, puede ser representado como $L = \langle \cdot , v\rangle$ donde $v \in H^1(\mathbb{R})$, e $\langle \cdot, \cdot \rangle$ es el emparejamiento en $H^1(\mathbb{R})$: $$ \langle u, v \rangle = \int_{\mathbb{R}} (u_x v_x + uv) d x. $$ Aquí, el subíndice indica derivados.

• Deje $w \in L^2(\mathbb{R})$. Puesto que el $H^1$-la norma es más fuerte que el $L^2$-norma, el funcional $v \mapsto L(v) := \int_{\mathbb{R}^2} w(x) v(x) d x$ es una funcional lineal continua en $H^1(\mathbb{R})$.

Mi pregunta es: ¿es posible dar el representante explícitamente? En otras palabras, encontrar $z \in H^1(\mathbb{R})$ tal que $L(v) = \langle v,z\rangle$.

Traté de imitar la prueba del teorema de Riesz, pero no sirvió de nada. Estoy seguro de que hay algo realmente fácil no veo, pero me parece que tienen algo de idea errónea de aquí.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

(i) $H^s(\mathbb{R}^n):=\lbrace u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) : \Lambda^s u \in L^2(\mathbb{R}^n) \rbrace$ con $\omega_s(\xi):=(1+|\xi|^2)^{s/2}$, $\Lambda^s u := \mathcal{F}^{-1}(\omega_s \widehat{u})$ $\forall u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$, y por el teorema de Plancherel tenemos la norma

$\displaystyle \left \| u \right \|_{H^s}= \left \| \Lambda^s u \right \|_{L^2}= \left\| \mathcal{F}(\Lambda^s u) \right\|_{L^2}=\left \| \omega_s \widehat{u} \right \|_{L^2}=\left( \int_{\mathbb{R}^n} |\widehat{u}(\xi)|^2 (1+|\xi|^2)^s d\xi \right)^{1/2}$

Tenga en cuenta que también se puede definir (ii) $H^s(\mathbb{R}^n):=\lbrace u \in L^2(\mathbb{R}^n) : \Lambda^s u \in L^2(\mathbb{R}^n) \rbrace$, la definición (i) es sólo un poco más general. En particular, tenemos el producto escalar

$\displaystyle (u,v)_{H^s}:=(\Lambda^s u, \Lambda^s v)_{L^2}= \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{u}(\xi) (1+|\xi|^2)^s \overline{\widehat{v}(\xi)} d\xi$.

Ahora $H^s(\mathbb{R}^n)$ $H^{-s}(\mathbb{R}^n)$ son uno de los dos isométrica de los otros. En otras palabras, por el espacio (iii) $H^s(\mathbb{R}^n)^* = \lbrace u \in H^s(\mathbb{R}^n)\longmapsto (u,v)_* : v \in H^s(\mathbb{R}^n) \rbrace$ tenemos $H^s(\mathbb{R}^n)^* \cong H^{-s}(\mathbb{R}^n)$, y de la misma manera se muestra que $H^{-s}(\mathbb{R}^n)^* \cong H^{s}(\mathbb{R}^n)$. En particular, la aplicación en la (iii) son isometrías, y $|(u,v)_*| \leq \left \| u \right \|_{H^s} \left \| v \right \|_{H^{-s}}$.

Prueba. deje $v \in H^{-s}(\mathbb{R}^n)=\lbrace v \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) : \Lambda^{-s}v \in L^2(\mathbb{R}^n) \rbrace$$u \in H^s(\mathbb{R}^n)$. Considerar el producto escalar

$\displaystyle (u,v)_*:=(\Lambda^s u , \Lambda^{-s} v)_{L^2}=\int_{\mathbb{R}^n} \widehat{u}(\xi)(1+|\xi|^2)^{s/2} \overline{\widehat{v}}(\xi) (1+|\xi|^2)^{-s/2} d\xi$

por la desigualdad de Schwartz $|(u,v)_*| \leq \left \| u \right \|_{H^s} \left \| v \right \|_{H^{-s}}$. Nos muestran que $\forall v \in H^{-s}(\mathbb{R}^n)$, los mapas de $u \in H^{s}(\mathbb{R}^n) \longmapsto (u,v)_* \in \mathbb{C}$ es un elemento del espacio dual $H^s(\mathbb{R}^n)^*$, de hecho si $T \in H^s(\mathbb{R}^n)^*$, por Riesz rapresentation therem:

$\displaystyle \exists h \in H^s(\mathbb{R}^n) : T(u)=(u,h)_{H^s} , \forall u \in H^s(\mathbb{R}^n)$

y $\left \| T \right \|_*=\left \| h \right \|_{H^s}$. Definir $v=\mathcal{F}^{-1}(\omega_{2s} \widehat{h})$, por el teorema de Plancherel tenemos

$\displaystyle \left \| v \right \|_{H^{-s}} = \left \| \Lambda^{-s}v \right \|_{L^2} = \left \| \mathcal{F}\Lambda^{-s}v \right \|_{L^2}= \left \| \omega_{-s} \mathcal{F}v \right \|_{L^2}= \left \| \omega_{-s} \omega_{2s} \mathcal{F}h \right \|_{L^2} = \left \| \omega_s \mathcal{F}h \right \|_{L^2} < \infty$

por lo tanto,$v \in H^{-s}(\mathbb{R}^n)$$h \in H^s(\mathbb{R}^n)$, y por la singularidad

$\displaystyle T(u)=(u,h)_{H^s}= \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{u}(\xi) (1+|\xi|^2)^s \overline{\widehat{h}(\xi)} d\xi = (u,v)_{*}$

y $H^s(\mathbb{R}^n)^* \cong H^{-s}(\mathbb{R}^n)$. En la final

$\left \| T \right \|_{*} = \left \| h \right \|_{H^s}= \left \| \omega_s \mathcal{F}h \right \|_{L^2}=\left \| v \right \|_{H^{-s}}$.