Evaluar

Question

Se supone que debo mirar$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n\sqrt{\ln n}}{(n+1)\sqrt{\ln(n+1)}}$ $, que es, por supuesto, el resultado de una prueba de relación. Mientras Wolfram Alpha me dice que el límite es$1$, no sé cómo simplificar más esta expresión para llegar a la misma conclusión.

Cualquier sugerencia sobre cómo proceder sería apreciada.

Answer 1

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n} {n +1} \ cdot \ lim_ {n \ to \ infty} \ sqrt {\ frac {\ log n} {\ log n + \ log ( 1+ \ frac {1} {n})}} = 1 $$

Answer 2

Sugerencia: Puede escribir

$$\frac{n\sqrt{\ln n}}{(n+1)\sqrt{\ln(n+1}}=\frac{n}{n+1}\cdot\sqrt{\frac{\ln n}{\ln(n+1)}}$$

y para calcular los límites como $n\to\infty$ de los dos factores en el lado derecho. El primero está claro, y para el segundo realmente necesita sólo se ocupan

$$\lim{n\to\infty}\frac{\ln n}{\ln(n+1)}=\lim{x\to\infty}\frac{\ln x}{\ln(x+1)}\;,$$

puesto que la función raíz cuadrada es continua.