Exponenciación cuando el exponente es irracional

Question

Sólo tengo curiosidad por saber qué inferencia podemos hacer cuando calculamos algo como $$\text{base}^\text{exponent}$$ donde base = número racional o irracional y exponente = número irracional

Answer 1

Un ejemplo que siempre me ha gustado de $$\textbf{irrational}^{\textbf{irrational}} = \textbf{rational}$$ es la siguiente: \begin{equation} 2 = \sqrt{2}^2= (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}. \end{equation} Así que, o bien $\alpha = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ es racional, o $\alpha$ es irracional, y entonces $\alpha^{\sqrt{2}}$ es racional.

PS @IttayWeiss en su post tiene una declaración mucho más precisa. Esto tiene la ventaja de ser elemental.

Answer 2

$2^2$ es racional mientras que $2^{1/2}$ es irracional. Del mismo modo, $\sqrt 2^2$ es racional mientras que $\sqrt 2^{\sqrt 2}$ es irracional (aunque no es tan fácil de demostrar), así que eso resuelve prácticamente todos los casos. Se puede decir mucho más cuando la base es $e$ . El Teorema de Lindemann-Weierstrass afirma que $e^a$ donde $a$ es un número algebraico no nulo es un número trascendental.