Por favor me ayude con esta desigualdad

Question

$a,b,c > 0$ (no hay otras condiciones)

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}$

He intentado esto: $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{\left (a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c$ y $a+b+c\geq\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}$ que no es correcto.

Answer 1

Como la desigualdad es homogénea, WLOG podemos fijar $a^2+b^2+c^2 = 3$ para obtener la desigualdad equivalente: $$\frac{a^2}b + \frac{b^2}c + \frac{c^2}a \ge 3$ $

$$\iff \left(\frac{a^2}b + \frac{b^2}c + \frac{c^2}a \right)^2 \ge 9 \iff \sum{cyc} \frac{a^4}{b^2} \ge 3 \iff \sum{cyc} a^2 \left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-2 \right)\ge 0$$

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Otra manera, usando la desigualdad del titular: $$\left(\frac{a^2}b + \frac{b^2}c + \frac{c^2}a \right)\left(\frac{a^2}b + \frac{b^2}c + \frac{c^2}a \right)\left(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \right)\ge \left(a^2+b^2+c^2\right)^3$ $

Que $x=a^2, y=b^2, z=c^2$. Entonces es suficiente mostrar que $$ \left(x+y+z \right)^3 \ge 3\left(xy+yz+zx \right)(x+y+z)$ $ $$ \iff \left(x+y+z \right)^2 \ge 3\left(xy+yz+zx \right)$ $ que es fácil de demostrar.

Answer 2

Si $$a^2\to a,b^2\to b,c^2\to c$ $ y $a+b+c=3$, tenemos $$\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a}}\ge 3$ $ para que pueda ver esto desigualdad. $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq3$