¿La mejor aproximación para $\displaystyle \sum_{k=2}^n\ln\ln k$?

Question

Necesito la mejor aproximación para $\displaystyle{\sum_{k = 2}^{n}\ln\left(\ln\left(k\right)\right)}$. Cualquier Consejo o sugerencia es bienvenida.

Derivé $n\ln\left(\ln\left(n!\right) \over n\right)$ así que es mejor una?

Answer 1

Serie de Euler-Maclaurin: $$ \sum_{k=2}^n \ln(\ln(k)) = C + \int_2^n \ln(\ln(t))\ dt + \dfrac{1}{2} \ln(\ln(n)) + \dfrac{1}{12 n \ln(n)} - \dfrac{1}{360 n^3 \ln(n)} - \dfrac{1}{240 n^3 \ln(n)^2} - \dfrac{1}{360 n^3 \ln(n)^3} + O(1/n^5) $ $ % constante $C$, donde $$\eqalign{\int_2^n \ln(\ln(t))\ dt &= n \ln(\ln(n)) - 2 \ln(\ln(2)) - \int_2^n \dfrac{dt}{\ln(t)}\cr &= n \ln(\ln(n)) - Li(n) - 2 \ln(\ln(2)) + Li(2)\cr}$ $ numéricamente aparece $C \approx -.2412388$.

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$ Con ${\it\mbox{Euler-Maclaurin Summation Formula}}$: \begin{align} &\sum_{k = 2}^{n}\ln\pars{\ln\pars{k}} =\ln\pars{\ln\pars{2}} + \sum_{k = 1}^{n - 2}\ln\pars{\ln\pars{k + 2}} \\[3mm]&\approx \ln\pars{\ln\pars{2}} + \int_{0}^{n - 1}\ln\pars{\ln\pars{x + 2}}\,\dd x - {1 \over 2}\braces{\ln\pars{\ln\pars{0 + 2}} + \ln\pars{\ln\pars{\bracks{n - 1} + 2}}} \\[3mm]&+ {1 \over 12}\braces{% {1 \over \bracks{\pars{n - 1} + 2}\ln\pars{\bracks{n - 1} + 2}} - {1 \over \bracks{0 + 2}\ln\pars{0 + 2}}} \\[3mm]&= {1 \over 2}\,\ln\pars{\ln\pars{2}} - { 1 \over 24\ln\pars{2}} + \int_{0}^{n - 1}\ln\pars{\ln\pars{x + 2}}\,\dd x - {1 \over 2}\,\ln\pars{\ln\pars{n + 1}} + {1 \over 12\pars{n + 1}\ln\pars{n + 1}} \end{align}

Answer 3

Usted puede utilizar el de Euler-Maclaurin de la Suma de la Serie. Los primeros términos son $$ \int_2^n\log(\log(x))\,\mathrm{d}x+\frac12\log(\log(n))+C+\frac1{12n\log(n)}+\dots $$ No vamos a preocuparse acerca de cualquiera de los términos más allá de la primera, ya que es necesario aproximar la integral asintóticamente, y los términos en que la expansión es mayor que $\log(\log(n))$. $$ \begin{align} \int\log(\log(x))\,\mathrm{d}x &=\int\log(u)\,\mathrm{d}e^u\\ &=e^u\log(u)-\int\frac{e^u}{u}\,\mathrm{d}u\\ &=e^u\log(u)-\frac{e^u}{u}-\int\frac{e^u}{u^2}\,\mathrm{d}u\\ &=e^u\log(u)-\frac{e^u}{u}-\frac{e^u}{u^2}-2\int\frac{e^u}{u^3}\,\mathrm{d}u\\ &=e^u\log(u)-\frac{e^u}{u}-\frac{e^u}{u^2}-2\frac{e^u}{u^3}-6\int\frac{e^u}{u^4}\,\mathrm{d}u\\ &=e^u\log(u)-\frac{e^u}{u}-\frac{e^u}{u^2}-2\frac{e^u}{u^3}-6\frac{e^u}{u^4}-24\int\frac{e^u}{u^5}\,\mathrm{d}u \end{align} $$ A partir de esto, se obtiene la expansión asintótica $$ \sum_{k=2}^n\log(\log(k))\sim n\log(\log(n))-\frac{n}{\log(n)}\left(1+\frac1{\log(n)}+\frac2{\log(n)^2}+\frac6{\log(n)^3}+\dots\right) $$