Demostrar que una función holomórfica con una parte real positiva es constante

Question

<blockquote> <p>Supongamos que $f$ es holomorfa en $\mathbb C$ y que $Re(f(z))>=0$ % todos $z$. Muestran que $f$ es constante. [Sugerencia: considerar $e^{−f(z)}$.]</p> </blockquote> <p>Mis pensamientos: Si $Re(f(z))\geq 0 $ sostiene, entonces $e^{−f(z)}$ es una función holomorfa acotada (¿tengo que probar esto o es obvio?) Entonces por Teorema de Liouville $e^{−f(z)}$ es constante.</p> <p>Pero entonces no sé cómo rigurosamente retomar de este $exp(−f(z))$ $f(z)$.</p> <p>¿Alguien me podría ayudar pieza esto junto, por favor?</p> <p>Gracias</p>

Answer 1

Si puede demostrar que$e^{-f(z)}$ es constante, entonces:$\frac {d}{dz}e^{-f(z)}=e^{-f(z)}f'(z)=0$, entonces$f'(z)$ = 0, y$f(z)$ es constante.