Conjunto parcial

Question

Encontré un ejemplo en el capítulo 2 de Dummit y Foote(page-47) que dice: $D_6$ no es un subgrupo de $D_8$, el anterior no es un subconjunto de éste. ¿No entiendo por qué no es el subconjunto de $D_8$? ¿Cómo definimos un grupo como un subconjunto de otro?

Answer 1

La declaración "$D_6$ no es un subgrupo de $D_8$" significa que no hay ningún subgrupo $H\subset D_8$ tal que $D_6$ es isomorfo a $H$. Es fácil comprobar como $D_6$ tiene un elemento de orden $3$, pero no hay subgrupos de $D_8$ tiene un elemento de orden $3$.

Es posible, aunque no particularmente útil, considerar $D_6$ como un subconjunto de $D_8$ fije-teórico.

Answer 2

$D_{2n}$ generalmente se define como el grupo de simetrías del regular $2n$-gon. Es $D_6$ actúa sobre un hexágono, mientras que $D_8$ actúa en un octágono. Puede anotar explícitamente y ver por qué $D_6$ no es un subconjunto de $D_8$.

Answer 3

Parece ser el caso que ord $r$ $D_6$ es 3, mientras que ord $r$ $D_8$ es 4, que es una de las razones por qué $D_6$ no es un subgrupo de $D_6$.