Fórmula de adición (prueba de Griffiths y Harris)

Question

Estoy teniendo problemas para entender la prueba de la contigüidad de la fórmula en Griffiths & Harris libro (pág. 146).

La fórmula indica que si $V \subset M$ es un buen analítica hipersuperficie entonces tenemos un isomorfismo $N^*_V \simeq [-V]|_V$ donde $N_V$ es normal en el paquete de $V$ $[-V]$ la línea de paquete de asociados para el divisor $-V$.

La estrategia es mostrar que $N_V^* \otimes [V] \simeq \mathcal{O}_Y$ (el trivial de la línea de paquete de más de $Y$) por la construcción de una nonvanishing sección global.

Si $V$ está definido por $f_i$$U_i$, entonces la cocicles de $[V]$ $f_{ij}=f_i/f_j$ $df_i$ es una sección de $N^*_V$. Por otro lado, el uso de los productos de la regla para la derivada de uno tiene que $df_i = f_{ij} df_j$ y, por tanto, el pegamento para una sección de $[V]$. El libro de los estados, a continuación, que el $df_i$ dar una sección global de $N_V^* \otimes [V]$. ¿Por qué es eso?

Es esta afirmación verdadera? Veo que si uno tiene secciones $s$ $L$ $s'$ $L'$ $s \otimes s'$ es una sección de $L \otimes L'$. En nuestro caso sabemos que $df_i$ es de $N_V^*$$[V]$, por lo que tenemos que $df_i \cdot df_i$ (y no $df_i$) es una sección de $N_V^* \otimes [V]$. Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

El paquete normal
Elegir en cada una de las $U_i$ un sistema de coordenadas $(z_1^{i},...,z_n^{i})$ tal que $U_i\cap V$ está dado por la ecuación de $z_n^{i}=0$, por lo que el $f_i=z_n^{i}$ .
La normal bundle $N_V$ $V \;$ es el dado por el cocycle

$$n_{ij}=\frac {\partial z_n^{i}}{\partial z_n^{j}} \in \mathcal O^*(V \cap U_{ij})$$ Note carefully that this bundle is defined only on $V$ , and not on $M$.

El paquete asociado a $V$
En la misma notación del paquete $\mathcal O(V)=[V]$ está definido por un cocycle $g_{ij}\in \mathcal O^*(U_{ij})$ satisfactorio
$z^i_n=z^j_n.g_{ij}$ $U_{ij}$.
Tomando derivadas parciales con respecto a $z^j_n$ rendimientos $\frac {\partial z_n^{i}}{\partial z_n^{j}} = g_{ij}+z^j_n.\frac {\partial g_{ij}}{\partial z^j_n} $.
La restricción de este a $V \cap U_{ij}$, obtenemos un cocycle para $[V]|V$ ( recordar que $z^j_n=0$ en $V\cap U_j$) $$\frac {\partial z_n^{i}}{\partial z_n^{j}} = g_{ij} \in \mathcal O^*(V \cap U_{ij})$$

Los dos se muestran las ecuaciones de demostrar que $n_{ij}=g_{ij}$, por lo que $$N_V \simeq[V]|V$$

(Como se puede ver, prefiero evitar formas diferenciales y dualization : no $N_V^*$, no $[-V]$. )

Answer 2

$df_i$ Definir Marcos locales $N_V^$. Estos inducen foliaciones local trivializations $N_V^$ que, debido a que $dfi = f{ij}dfj$ en V, tienen transición funciones $f{ij}^{-1}$, convenientemente restringido. Esto indica que $N_V^*\simeq [-V]|_V$.