Una integral impropia participación jerarquizada raíces cuadradas

Question

Tengo: % $ $$I_{a,b}= \int_b^{ + \infty } \left( \sqrt {\sqrt {x + a} - \sqrt x } - \sqrt {\sqrt x - \sqrt {x - b} } \right)dx$$a>0$y $b>0$.

Debo determinar si se trata de un integral convergente o divergente. El problema es que no sé cómo empezar.

Answer 1

Tenemos: $$\sqrt{x+a}-\sqrt{x}=\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}},\qquad \sqrt{x}-\sqrt{x-b}=\frac{b}{\sqrt{x}+\sqrt{x-b}}$ $ y: $$f{a,b}(x)=\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}=\frac{\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}}-\frac{b}{\sqrt{x}+\sqrt{x-b}}}{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{x-b}}}}$ $ por lo tanto, $f{a,b}(x)$ se comporta como $$ x^{1/4}\left(\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}}-\frac{b}{\sqrt{x}+\sqrt{x-b}}\right) $ $ $x\to +\infty$. Si $a\neq b$, $I_{a,b}$ no converge, desde $x^{-1/4}\not\in L^1((1,+\infty))$.

Si $a=b$ y $f{a,b}(x)$ se comporta como $$ x^{1/4}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}}-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-a}}\right)=x^{1/4}\left(\frac{\sqrt{x-a}-\sqrt{x+a}}{(\sqrt{x}+\sqrt{x+a})(\sqrt{x}+\sqrt{x-a})}\right)$ $ que es $\Theta(x^{1/4-3/2})$ $x\to +\infty$, por lo tanto converge $I{a,b}$.