log(log(123456789101112131415...)))

Question

Cómo usted la aleta al entero más cercano a

log(log(1234567891011121314...2013))

donde el número es la concatenación de los números 1 hasta 2013 inclusive. en este caso log() es log base 10.

Además, ¿cómo se encontrará el resto cuando se divide por 75?

Answer 1

En general, si dispone de un número entero positivo $n$ % y $d$ cifras en su expansión decimal entonces $$d-1 \le \log(n) \le d$ $ ejemplo $\log(1529) = 3.1844\dots$ $1529$tiene $4$ dígitos.

¿Cuántos dígitos son en $12345678 \dots 2013$? Bueno tenemos

• números one-digit de $9$
• números de dos dígitos $99-9=90$
• números de tres dígitos $999-99=900$
• números de cuatro dígitos $2013-999=1014$

Así que su número tiene $9 \times 1 + 90 \times 2 + 900 \times 3 + 1014 \times 4 = 6945$ dígitos.

Por lo tanto debemos tener $$6944 \le \log(12345678 \dots 2013) \le 6945$ $ y así $\log(6944) \le \log(\log(12345678\dots 2013)) \le \log(6945)$.

¿Lo puede tomar desde aquí?