¿Condición innecesaria del teorema de convergencia monótona de Lebesgue?

Question

Rudin RCA p.21

Dejemos que $(X,\Sigma,\mu)$ sea un espacio de medidas y $\{f_n\}$ sea una secuencia de funciones medibles sobre $X$ y supongamos que

(a) $0\leq f_1\leq f_2\leq\cdots\leq\infty$ por cada $x\in X,$

(b) $f_n\rightarrow f$ en punto a $X$ .

Entonces $\int_X f_n d\mu \rightarrow \int_X f d\mu$ .

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He seguido la prueba, pero no veo por qué la condición (b) es esencial. Toda secuencia monótona en un sistema real extendido tiene un límite como supremum o infimum, así que creo que la condición (a) implica la condición (b). ¿Estoy equivocado? ¿Cómo?

Answer 1

Si ha omitido la condición (b), entonces nada en la hipótesis le dice lo que $f$ es.

Recuerde que un teorema debe ser correcto independientemente de los valores particulares que le dé a sus variables; mientras las hipótesis sean verdaderas, la conclusión también debe serlo. Supongamos ahora que eliges unas funciones razonables como $f_n$ satisfaciendo la hipótesis (a), por lo que convergen, pero usted eligió alguna función totalmente diferente como su $f$ no el límite hasta el que el $f_n$ convergen. Para esta elección de $f_n$ y $f$ la conclusión sería probablemente falsa (a no ser que se eligiera un lugar especialmente afortunado). $f$ ), pero todas las hipótesis excepto (b) son verdaderas.

Por lo tanto, si se omite (b), el teorema se vuelve incorrecto. Hay opciones de $f_n$ y $f$ que hacen que las hipótesis supervivientes sean verdaderas pero que la conclusión sea falsa.

Es posible omitir la hipótesis (b) y compensar la omisión para que el teorema siga siendo correcto. Por ejemplo, escribiendo la última integral de la conclusión como $$\int_X\lim_{n\to\infty}f_n\,d\mu.$$

Answer 2

Tienes razón. Condición $b)$ se deduce de la condición $a)$ Pero hay que tener en cuenta que necesitamos ambas condiciones para demostrar el teorema. La prueba consiste en demostrar el resultado $\leq$ y $\geq$ para conseguir la igualdad. Al demostrar \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_nd\mu \leq\int_{\mathbb{R}}fd\mu, \end{equation*} El supuesto de monotonicidad $f_n\leq f_{n+1}$ implica que, para cada $j$ tenemos \begin{equation*} f_j(x)\leq\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) \end{equation*} que es un primer paso crucial en la prueba.