Sistema $\dot{x}=x^2$, $\dot y=-y$, tiene infinitamente muchos colectores (centro)

Question

Considerar el sistema,

\begin{align} \dot{x}&=x^2 \\ \dot y&=-y \end{align}

Estoy tratando de mostrar que este sistema tiene una infinidad de locales del centro de colectores.

Esto es lo que he hecho hasta ahora: es claro que el sistema tiene un punto de descanso en el origen. Yo linealizado del sistema en el origen y tiene ese $\lambda=0$ $\lambda=-1$ a los autovalores del operador linealizado. Resulta que el correspondientes vectores propios se $(1,0)^T$ $(0,1)^T$ respectivamente. Así que las soluciones de la linealizado del sistema puede ser escrita de la siguiente manera.

\begin{align} x&=c_1\\ y&=c_2e^{-t} \end{align}

Cuando $c_1=0$, $y\to0$ como $t\to \infty$. Por lo tanto, por definición de la estable colector de el $y$ eje debe ser estable colector. También la inestabilidad de colector es la trivial establecer $(0,0)$.

Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que existen infinitos centro de colectores?. No resolver el sistema de forma explícita tiene nada que ver con responder a esta pregunta?. En particular, cualquier órbita del sistema, no en el establo colector $(0,y)$ satisface una ecuación de la forma $\displaystyle y=c_2e^{\frac{1}{x}-c_1}$. Me siento como que no estoy viendo algo simple. Puede alguien dar una explicación?

Contexto: En la educación a distancia libro en el que estoy utilizando (C. Chicone) este problema se da como un ejemplo para mostrar que el centro de colector no necesitan ser únicos. (Después de probar el invariante colector teorema).

Answer 1

El centro subespacio es la línea de $y=0$. El estable subespacio es la línea de $x=0$. Para cada punto de $(x_0,y_0)$, la solución pasa a través de $(x_0,y_0)$ es tal que, para cada $t$ en el intervalo de definición en torno a $0$, $$x(t)=\frac{x_0}{1-x_0t},\qquad y(t)=y_0\mathrm e^{-t}.$$ Mitad derecha-avión: Si $y_0\ne0$, $x_0\gt0$, a continuación, $x(t)\to+\infty$ $y(t)\to y_0\exp(-1/x_0)\ne0$ al $t\to1/x_0$ el límite superior de su intervalo de definición.

Por lo tanto, no hay punto de $(x_0,y_0)$ tal que $y_0\ne0$ $x_0\gt0$ pertenece a un centro de colector.

Mitad izquierda-avión: Si $y_0\ne0$, $x_0\lt0$, a continuación, $x(t)\to0$ $y(t)\to0$ al $t\to+\infty$. La solución permanece en la curva con ecuación $$y=y_0\exp(1/x-1/x_0),\qquad x\lt0,$$ hence $y\ll x$ when $x\to0$, $x\lt0$, that is, the curve is tangent at $(0,0)$ to the line $y=0$.

Por lo tanto, cada punto de $(x_0,y_0)$ tal que $y_0\ne0$ $x_0\lt0$ pertenece a un centro de colector con el centro asociado subespacio $(y=0,x\lt0)$. En el diagrama a continuación, estas son las trayectorias en la mitad izquierda del plano-apuntando a $(0,0)$, el eje $y=0$, con algunas excepciones.

$\qquad\qquad\qquad\qquad$