Ejemplo de un espacio topológico del vector

Question

Tengo la siguiente pregunta: un ejemplo de un espacio topológico del vector $E$ % subespacio $M$y $N$, que $E = M \oplus N$ algebraico, pero no topológico (así $E \ncong M \sqcup N$). Sospecho que debe ser dimensional infinito, pero no tengo ninguna pista de cómo construir un ejemplo.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Que $M$ ser un subespacio denso apropiado de un infinito dimensional $E$ y pico $N$ cualquier complemento algebraico . $E=M\oplus N$ Algebraico en construcción, pero la suma directa es no de espacios topológicos del vector, como el % de proyección $E=M\oplus N\to N$no es continuo: su núcleo es $M$, que no está cerrada.

Answer 2

He encontrado una respuesta (creo) gracias a la respuesta anterior, pero no estoy seguro de que es correcta.

Tome $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$- vectorspace, con la topología euclidiana. Supongamos que tenemos un $\mathbb{Q}$base $(e_i)_{i \in I}$, con algunos $e_j = 1$. Tome $\mathbb{Q}$ como un subespacio y tomar el cociente del espacio de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, por lo que tenemos $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \oplus \mathbb{R}/\mathbb{Q}$ y un cociente mapa de $\phi: \mathbb{R} \longrightarrow\mathbb{R}/\mathbb{Q}$.

La topología en $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es la topología trivial, ya que es producida por conjuntos de $\phi(V)$ $V \subseteq \mathbb{R}$ tal que $V \oplus \mathbb{Q}$ está abierto en $\mathbb{R}$. Pero el único conjunto abierto en $\mathbb{R}$ contiene $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$, lo $V$ contiene un representante de cada clase en $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, lo $\phi(V) = \mathbb{R}/\mathbb{Q}$. Naturalmente tenemos $$\mathbb{R}/\mathbb{Q} \cong \bigoplus_{i\in I, i \neq j} \mathbb{Q}e_i$$

Pero luego hemos terminado, porque para $\mathbb{R}$ con la topología euclidiana a ser el topológica de la suma directa de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, $\psi: \mathbb{R}/\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ tiene que ser continuo, pero, a continuación, $\psi^{-1}(]-1,1[)$ debe ser abierta en $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ y no vacío (cada $e_i$ puede ser reducido con un $q \in \mathbb{Q}$ a un elemento en $]-1,1[$). Por lo $\psi^{-1}(]-1,1[) = \mathbb{R}/\mathbb{Q}$, pero cada $e_i$ puede ser ampliada con una $q \in \mathbb{Q}$, por lo que tiene una norma mayor que 1. Así que no es abierta y está hecho.

Es esto correcto ?