Transformar a polar el % integral $\int_0^6\int_0^y x \, dx \, dy$

Question

Necesito transformar este % integral $\int_0^6\int_0^y x \, dx \, dy$polar y luego encontrar su valor.

Estoy atrapado encontrar el r límites de integración.

Answer 1

Hay una conocida transformación entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas como $x=r\cos(\theta), y=r\sin(\theta)$. Así que tu para el integral se puede convertir es $\theta\mid{\pi/4}^{\pi/2}$ y $r\mid{0}^{6/\sin(\theta)}$.

Answer 2

Este es un ejemplo en el que es mucho más simple para hacer la cosa directamente que por la conversión a coordenadas polares, pero un ejercicio es un ejercicio. En primer lugar, recuerde que $$ dx\,dy=r\,dr\,d\theta, $$ y $$ x = r\cos\theta. $$ La mayoría de la obra ahora está en la búsqueda de los límites. Ha $y$, al pasar de $0$$6$, y, a continuación, para cada valor fijo de $y$, $x$ va de $0$$y$. Así que es un triángulo con vértices $(0,0)$, $(0,6)$, y $(6,6)$. Dibujar la imagen. Vea el ángulo de $\theta$, pasando de la mitad de un ángulo recto hacia arriba a un ángulo recto, por lo que es $$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cdots\cdots \,d\theta. $$ Entonces, para cualquier fija $\theta$, usted necesita $r$, al pasar de $0$ a la distancia a la línea de $y=6$, por lo que tienes $$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^{6\csc\theta} r\cos\theta \,i\,dr\,d\theta. $$

(Más tarde, tendrás $\displaystyle\int \Big(\text{a function of }\sin\theta\Big) \Big( \cos\theta\,d\theta\Big)$, por lo que se debe sugerir una sustitución.)

Answer 3

El conocido cambio de coordenadas es: $x(r,\theta) = r\cos\theta$$y(r,\theta) = r \sin \theta$. Las primeras cosas que tenemos que tratar de transformar son el diferencial de una de las formas de $dx$$dy$, y el diferencial de dos formas $dx \wedge dy$. Recordar que si $f = f(r,\theta)$$df = f_r \ dr + f_{\theta} \ d\theta$. De ello se sigue que:

$$\begin{array}{ccc} dx & = & \cos\theta \ dr - r\sin\theta \ d\theta \, , \\ dy & = & \sin\theta \ dr + r\cos\theta \ d\theta \, . \end{array}$$

La aplicación de la definición del exterior producto: $dx \wedge dy = r \ dr \wedge d\theta$. Poner esto juntos:

$$\int\int x \ dx \wedge dy \equiv \int \int r^2\cos\theta \ dr \wedge d\theta \, . $$ Lo siguiente que tenemos que lidiar con los límites. En tu pregunta son los límites de $0 < x < y$$0 < y < 6$. Por lo tanto: $0 < r\cos\theta < r\sin\theta$$0 < r\sin\theta < 6$. La segunda desigualdad nos dice que:

$$0 < r < \frac{6}{\sin\theta} \, .$$

Poner esto en la primera desigualdad se obtiene:

$$ 0 < 6\frac{\cos\theta}{\sin\theta} < 6 \implies 0 < \cot \theta < 1 \implies \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2} \, . $$

Finalmente, se puede recoger la totalidad de este conjunto y obtenemos:

$$\int_0^6 \int_0^y x \ dx \wedge dy = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{0}^{6/\sin\theta} r^2\cos\theta \ dr \wedge d\theta \, . $$

La primera integración es simple, podemos integrar a $r^2$ con respecto al $r$:

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{0}^{6/\sin\theta} r^2\cos\theta \ dr \wedge d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \left[\frac{1}{3}r^3\cos\theta \right]_{0}^{6/\sin\theta} d\theta = \int_{\pi/4}^{\pi/2} 72\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} \ d\theta \, . $$

Esta última expresión se integra. Observe que el integrando es $\cot\theta \csc^2\theta$ y podemos hacer la sustitución de $u = cot\theta$ $du = -\csc^2\theta$ dar $-\int u \ du$. Por lo tanto:

$$ \int_{\pi/4}^{\pi/2} 72\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} \ d\theta = 72\left[ \frac{-36}{\sin^2\theta} \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = 36 \, . $$