Podría ser útil para tomar una significativamente diferente enfoque, aquí, mis disculpas si me acaba de agregar a la confusión. Es un poco antinatural a pensar de $C$ como una simple categoría en poner una estructura cerrada en $[C,V]$, desde el interior hom ha $F^G$ tiene que enviar a $c$ a un objeto de $V$, en lugar de un conjunto. Aquí está la intuición: si $V=\mathbf{Set}$, $F^G(c)=\mathrm{Nat}(\hat c\times G,F)$ es algún tipo de conjunto de transformaciones naturales de $G$ $F$ponderado por $c$. (En particular, si $c$ es inicial, a continuación, recuperar la ordinaria conjunto de transformaciones naturales.) Ahora para obtener más general $V$, $F^G(c)$ tiene que ser un objeto de $V$. Tal vez usted va a comprar que esto se debe sentir como un objeto de (ponderado) $V$naturales transformaciones entre $G$$F$; pero que no tiene sentido si $F,G$ son ordinario functors, en lugar de $V$-functors.
Sin embargo, si asumimos $V$ es cocomplete, entonces podemos construir la libre $V$categoría $V(C)$$C$, que tiene los mismos objetos $C$, y como hom-objetos
$V(C)(c_1,c_2)=\coprod_{C(c_1,c_2)} I$ donde $I$ es el monoidal unidad de $V$.
En caso de que esta construcción parece desconocido, en el caso de $C$ es un grupo y $V$ es abelian grupos-sólo debe conseguir el anillo de grupo! Ahora $V$-functors de $V(C)$ $V$son los mismos que functors de $C$ $V$(recuperando el hecho de que $G$-representaciones son los módulos a través del anillo de grupo) y ahora tenemos un acceso más fácil a $V$-objetos de ($V$-)natural tranformations entre functors $C\to V$. Recordemos la definición de $V-\mathrm{Nat}(F,G)$ ya que el fin de $\int_C G(c)^{F(c)}$, que puede calcularse como el ecualizador de los dos mapas
$\prod_C G(c)^{F(c)}$ $\prod_{f:c_1\to c_2} G(c_2)^{F(c_1)}$cuyos componentes en $f$ son, respectivamente, $G(f)^{F(c_1)}$$G(c_2)^{F(f)}$. Así, de nuevo, en caso de $C$ es un grupo y $V$ es abelian grupos, el $V$naturales transformaciones entre dos $C$-módulos de $F$ $G$ son los abelian grupo homomorphisms $a:F\to G$ tal que, para cada $f$ en $C$, $G(f)\circ a=a\circ F(f)$. En más de la notación tradicional, $a(fx)=f(ax)$, para cada $x\in F$: estos son sólo los equivariant grupo homomorphisms, como era de esperar, y de hecho los puntos del objeto de $V$naturales transformaciones entre $V$-functors de $V$-categorías son sólo natural ordinaria transformaciones, por lo que con algo como abelian grupos no notamos mucha diferencia. (Por algo con más dramático olvidadizo functor, más ya habría sucedido: la estructura de categorías en las naturales transformaciones entre functors de una categoría a la categoría monoidal de categorías inventa para nosotros la noción de modificación.)
Ahora vamos a tratar de obtener la interna hom en $V^J$ para cualquier pequeño $V$categoría $J$ en un familiar de el caso de $V=\mathrm{Set}$. Hemos enriquecido de Yoneda lema garantizar que, para $F,G:J\to V$, debemos tener $G^F(j)=V^J(\hat j,G^F)=V^J(\hat j\otimes F,G)$, para cada $j\in J$; la acción de $G^F$ en morfismos objetos, $J(j_1,j_2)\to V(V^J(\hat j_1\otimes F,G),V^J(\hat j_2\otimes F,G))$, es definido por la composición de la $$J(j_1,j_2)\otimes V^J(\hat j_1\otimes F,G)\to V^J(\hat j_2\otimes F,\hat j_1\otimes F)\otimes V^J(\hat j_1\otimes F,G)\to V^J(\hat j_2\otimes F,G)$$
El primer mapa no se aplica Yoneda, $J(j_1,j_2)\to V^J(\hat j_2,\hat j_1)$, y, a continuación, tensores con $F$; el segundo mapa es sólo la composición. El uso de la enriquecido co-Yoneda lema, que hace que cada functor un colimit de representables, uno puede mostrar que esto realmente dar un Cartesiano estructura cerrada en $V^J$.
Esperemos que la una menos oscuro, si ridículamente wordier, enfoque para el sistema de cierre de la general functor categorías. De todos modos, lo que todo esto significa, en el caso de $J=V(C)$ $C$ un grupo y $V$ abelian grupos? Dado $F$$G$, sabemos $G^F(c)$ donde $c\in C$ es el único objeto, se supone que para ser $V^C(F\otimes \hat c, G)$, el grupo abelian de equivariant homomorphisms en $G$ $F$ tensored con el ordinario de la representación (con la izquierda a la acción.) Ahora viene un truco: equivariant homomorphisms $\bar h:F\otimes \hat c\to G$ son, naturalmente, identificado con la arbitraria homomorphisms $h: F\to G$! Esto es debido a que $\hat c$ es gratis y transitiva: podemos optar $\bar h$ arbitrariamente en el sumando de a $\hat c(c)$ correspondiente a la identidad de morfismos, y todo lo demás está determinada únicamente.
Así que, finalmente hemos encontrado que $G^F(c)$ es el grupo de no-equivariant homomorphisms $F\to G$, y sólo tenemos que determinar el $C$-acción. Bien, llegamos a la fórmula anterior: una de morfismos/elemento del grupo $f:c\to c$ actúa en $h:F\to G$ ver $h$ como equivariant mapa de $\bar h: F\otimes \hat c\to G$ y actuando por $f$ $\hat c$ coordinar. Pero tenga en cuenta que la contravarianza de la Yoneda estamos usando aquí hace $f$ ley sobre el derecho (de lo contrario también no sea un mapa del módulo.) Así que, abusando de la notación, podemos decir $f\bar h(x\otimes f')=\bar h(x\otimes f'f)$. Ahora, con la $f\bar h$ nuevo en un no-equivariant mapa de $F\to G$, se evalúa sobre la identidad. Por lo $$(fh)(x)=f\bar h(x\otimes e)=\bar h(x\otimes f)=f \bar h(f^{-1} x\otimes e)=f(h(f^{-1}x))$$
Y ahí lo tienen! Aviso que la aparición de un inverso aquí sugiere que las cosas no son tan simples para monoids (o categorías!) como de hecho no lo son-si $C$ es un monoid que no es un grupo, entonces, un equivariant mapa de $F\otimes \hat c$ es no se determina únicamente por su restricción a la identidad de los componentes. Sin embargo, este hom interno, todavía no es siempre malo para calcular. Yo recomiendo probarla para functors de la flecha de la categoría como un ejercicio.
Observe también que pude (?) han contado esta historia mucho más rápido por quedarse con $V=\mathrm{Set}$-usted puede obtener el mismo interno hom fórmula para $G$-se establece como de $G$-representaciones.
