¿Por qué la solución de $ \sqrt {6-5x}=x$ sólo $x=1$ y no $x=-6$ ?

Question

Resolví la ecuación $ \sqrt {6-5x}=x$ de la siguiente manera: $$( \sqrt {6-5x})^2=x^2$$ $$6-5x=x^2$$ $$0=x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$$ $$x=-6 \quad \text {or} \quad x=1$$

Si me conecto $x=-6$ en la ecuación original, obtengo $ \sqrt {6+30}= \sqrt {36}= \pm 6$ y si me conecto $x=1$ tengo $ \sqrt {6-5}= \sqrt {1}= \pm 1$ .

Me parece que ambos valores satisfacen la ecuación original. Estoy usando un sistema de educación en línea para mi clase llamado MyMathLab y la solución es sólo $x=1$ . ¿Por qué?

Gracias de antemano.

Answer 1

La confusión que está teniendo proviene del concepto de encontrar las soluciones a $z^2 = 36$ . Definitivamente $z = \pm 6$ son soluciones porque $(-6)^2 = 36 = 6^2$ pero esto no es lo mismo que $y = \sqrt {36}$ . De lo contrario, nos quedamos con tonterías como $-6 = 6$ lo cual no es cierto.

Si tapamos la respuesta $x = -6$ de vuelta a la ecuación original, tenemos $$ \sqrt {6 - 5(-6)} = \sqrt {36} = 6 = -6.$$ Una vez más, tenemos tonterías de $-6 = 6$ . Incluso fueron positivos y negativos $6$ tendrías $-6 = \pm 6$ . Esto es cierto sólo para uno de los valores, lo que demuestra que no es válido asumir que $ \sqrt {36} = \pm 6$ .

Answer 2

Porque la ecuación $ \sqrt {6-5x}=x$ es no equivalente a $6-5x = x^2$ pero a

$6-5x = x^2$ y $x \geq \frac {6}{5}$ .

La cuadratura puede cambiar el conjunto de soluciones. Por ejemplo, considere $x = 4$ y $x^2 = 16$ . También tenemos $ \sqrt 1$ que tienen las soluciones $x_1 = 1, x_2 = -1$ , pero $1 \neq -1.$ Si se cuadra una ecuación radical siempre se obtiene una raíz real y una falsa.

Por esta misma razón, dividiendo por $x$ también significa que puedes "perder" soluciones.

Answer 3

Estás un poco confundido. Déjame aclararte.

Considere estas dos ecuaciones:

$y^2=36$ y $z= \sqrt {36}$ Vea el grado de $y$ que es el 2. Es por eso que tienes dos soluciones aquí en este caso, es decir $$y= \pm 6$$

Se el grado de $z$ que es 1 . es por eso que uno debe obtener una sola raíz. Además, el cuadrado de un número no puede ser negativo. Por lo tanto , $$z=6$$

Ahora de nuevo satisface tus resultados y ahora sabrás la respuesta.

Answer 4

No se pueden seleccionar todas las soluciones de una expresión $B$ derivado (calculado) de la expresión $A$ cuando $B$ es no equivalente a $A$ y tienen que referirse a la expresión inicial para considerar los valores válidos.

Aquí (fíjese en la / dentro de la $ \Leftrightarrow $ ) $$ \sqrt {6-5x}=x \quad\not\Leftrightarrow\quad6 -5x=x^2$$ porque la eliminación de la $ \sqrt { }$ elimina una condición en la expresión, así como $ \sqrt {x}$ es válido para $x \geqslant 0$ Así que $ \sqrt { \text {expression}} = x$ implica $x \geqslant 0$ . Y puedes resolver $$6-5x \geqslant 0$$ que da $x \leqslant \frac {6}{5}$ .

A partir de ahora, conoces los requisitos: $x \geqslant 0$ y $x \leqslant \frac {6}{5}$ .

$$ \sqrt {6-5x}=x \quad\implies\quad6 -5x=x^2, \quad 0 \leqslant x \leqslant \frac {6}{5}$$

Luego, después de resolver $6-5x=x^2$ que da $$x=-6 \quad \text {or} \quad x=1$$ se refiere a los requisitos para eliminar el inválido $x = -6$ y puede dar con seguridad la única solución $$x = 1$$

Answer 5

La raíz cuadrada, denotada por $$y(x)= \sqrt x$$ es una función de la variable $x$ . Como tal, sólo puede tomar un valor.

Naturalmente, uno siempre elige la solución positiva de

$$y^2=x.$$

Esto se llama la rama principal.

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Recuerde:

$$y^2=x$$ tiene dos soluciones en $y$ pero $$y= \sqrt x$$ sólo uno.