Una prueba demuestra que un ángulo es de 90º, y la otra prueba demuestra que el mismo ángulo es de 60º. He revisado ambas pruebas varias veces, pero no puedo encontrar cuál es el error en ninguna de ellas. Y obviamente no pueden ambos sea correcto.
A continuación hay dos fotos de mi cuaderno. En una se indica el problema en sí y el tipo de formas y ángulos con los que estamos tratando. La primera imagen también muestra la primera prueba en formato de dos columnas. La segunda imagen muestra la segunda prueba también en formato de dos columnas.
¿Alguien puede detectar algún problema en alguno de ellos?
EDIT: Para que quede claro, en realidad no sé cuál es el problema de una de estas pruebas. Por eso pregunto. Ambas me parecen que deberían funcionar, y sin embargo arrojan conclusiones contradictorias.
Problema inicial
Teniendo en cuenta lo siguiente:
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$ABCD$ es un cuadrado
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$\overline{FG}$ es una bisectriz perpendicular de $\overline{BG}$
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$\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}}\arc{AC}$ es parte de un círculo centrado en $B$
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Puntos $E$ , $A$ y $C$ todos se encuentran en el círculo $B$
Encuentre $m\angle BEC$
Prueba de que $m\angle BEC=60^\circ$
$\begin{aligned} & &&\text{Statement} &&\text{Reason}\\ &1. &&\overline{BG}≅\overline{GC} &&\text{Given}\\ &2. &&m<CGE=90^\circ &&\text{Given}\\ &3. &&m\angle BGE=90^\circ &&\text{Given}\\ &4. &&\overline{EG}≅\overline{FG} &&\text{Reflexive property}\\ &5. &&\triangle CGE≅\triangle BGE &&\text{SAS}\\ &6. &&\overline{BE}≅\overline{CE} &&\text{Because of $ 5 $}\\ &7. &&\text{Both $\overline {BE} $ and $\overline {BG} $ are radii of circle $ B $} &&\text{Both $ E $ and $ C $ lie on circle $ B $ and point $ B $ is the origin of circle $ B $}\\ &8. &&\therefore \overline{BC}≅\overline{BE} &&\text{The radius of the same circle remains constant}\\ &9. &&\overline{BC}≅ EC &&\text{Transitive property}\\ &10. &&\triangle BEC\text{ is equilateral} &&8\text{ and }9\\ &11. &&m\angle BEC = 60^\circ &&\text{All angles in an equilateral triangle are $ 60^ \circ$}\\ &&&\text{Q.E.D.} \end{aligned}$
Prueba de que $m\angle BEC=90^\circ$
$\begin{aligned} & &&\text{Statement} &&\text{Reason}\\ &1. &&\text{construct line $\overline {HI} $ such that $\overline {HI}⟂ \overline {AB} $ and point $ E $ is collinear to $\overline {HI} $} &&\text{None}\\ &2. &&m<CGE\text{ and } m\angle BGE\text{ are $ 90^ \circ$} &&\text{Given}\\ &3. &&\overline{CG}≅\overline{BG} &&\text{Given}\\ &4. &&\overline{EG}≅\overline{EG} &&\text{Reflexive property}\\ &5. &&\triangle CGE ≅ \triangle BGE &&\text{SAS}\\ &6. &&\overline{HE}≅\overline{BG} &&\text{Because of how we constructed $\overline {HI} $}\\ &7. &&\overline{HB}≅\overline{EG} &&\text{Same reason as $ 6 $}\\ &8. &&m\angle EGB=90^\circ &&\text{Same reason as $ 6 $}\\ &9. &&\triangle GEB≅\triangle HEB &&\text{SAS}\\ &10. &&m\angle HEB = m\angle GEB &&\text{Statement $ 9 $}\\ &11. &&m\angle HEG = 90^\circ &&\text{Same reason as $ 6 $}\\ &12. &&m\angle HEB + m\angle GEB = 90^\circ &&\text{None}\\ &13. &&2(m\angle HEB)= 90^\circ&&\text{Statement $ 10 $}\\ &14. &&m\angle HEB= 45^\circ&&\text{None}\\ &15. &&m\angle BEG= 45^\circ&&\text{Statement $ 10 $}\\ &16. &&m\angle CEG= 45^\circ&&\text{Statement $ 5 $}\\ & &&\therefore m\angle BEC = m\angle CEG + m\angle BEG = 45^\circ + 45 ^\circ =90^\circ&&\\ &&&\text{Q.E.D.} \end{aligned}$
