Supongamos que $\space f$ es positivo y monótona creciente en $(0,\infty)$, $\space f \in AC[a,b]$(absolutamente continuas) para cada intervalo finito [a,b], y hay un constante $C>0$ tal que $\space f(x)\leq Cx^2$ todos los $x>0$. Demostrar que $\int_0^\infty1/f'=\infty$.
Lo que tengo es:
Fix $\space 0<a<b<\infty$, \begin{align} b-a=\int_a^b1=\int_a^bf'^{1/2}\cdot f'^{-1/2}&=|\langle f'^{1/2},f'^{-1/2}\rangle|\\ &\leq \|f'^{1/2}\|_2\cdot\|f'^{-1/2}\|_2 \end{align} Reorganizar la desigualdad y tomar cuadrada de ambos lados para obtener: \begin{align} \|f'^{-1/2}\|_2^2 & \geq \frac{(b-a)^2}{\|f'^{1/2}\|_2^2}\\ \int_a^b f'^{-1} & \geq \frac{(b-a)^2}{\int_a^b f'}=\frac{(b-a)^2}{f(b)-f(a)} \end{align} Y me quedé atrapado aquí. Creo que el siguiente paso debe ser el uso de la suposición de $\space f(x)≤Cx^2$ a mostrar que dejando $a\rightarrow0$$b\rightarrow \infty$, la integral se ve el infinito. Pero no sé cómo.
Gracias!
